Kahe sirge vastastikune asend

Paralleelsed sirged
Ühtivad sirged
Lõikuvad sirged
Ristuvad sirged
Nurk sirgete vahel

Paralleelsus

Vaatleme kahte sirget, mille võrrandid on

a₁x + b₁y + c₁ = 0 ja a₂x + b₂y + c₂ = 0.

Sirgete asend on määratud nende sihivektoritega $\vec{s_{1}}$ ja $\vec{s_{2}}$ või normaalvektoritega $\vec{n_{1}}$ ja $\vec{n_{2}} .$

Paralleelsete sirgete sihi- ja normaalvektorite paiknemine

Märka vektoreid

Kui sirged on paralleelsed või ühtivad, siis nende normaalvektorid on samasihilised ehk kollineaarsed ja vastupidi. Sama kehtib ka sihivektorite kohta.

Paralleelsed sirged

Kaks sirget on paralleelsed parajasti siis, kui nende normaalvektorid

$\vec{n_{1}}$ = (a₁; b₁) ja $\vec{n_{2}}$ = (a₂; b₂)

on kollineaarsed, kuid vabaliikmete suhe on erinev vektorite vastavate koordinaatide suhtest.

$\frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{b_{1}}{b_{2}} \neq \frac{c_{1}}{c_{2}}$

Kaks sirget y = k₁x + b₁ ja y = k₂x + b₂ on paralleelsed parajasti siis, kui nende sihivektorid

$\vec{s_{1}}$ = (1; k₁) ja $\vec{s_{2}}$ = (1; k₂)

on kollineaarsed, kuid vabaliikmete suhe on erinev vektorite vastavate koordinaatide suhtest.

$\frac{1}{1} = \frac{k_{1}}{k_{2}} \neq \frac{b_{1}}{b_{2}}$

Seega, kaks sirget on paralleelsed parajasti siis, kui nende tõusud on võrdsed, kuid algordinaadid erinevad.

k₁ = k₂, b₁ ≠ b₂

Näide 1

s: 2x – 5y + 6 = 0

t: –6x + 15y + 18 = 0

$\frac{2}{- 6} = \frac{- 5}{15} = - \frac{1}{3} \neq \frac{6}{18}$

Vastus

Sirged on paralleelsed.

Ühtivad sirged

Kaks sirget on ühtivad parajasti siis, kui nende normaalvektorid

$\vec{n_{1}}$ = (a₁; b₁) ja $\vec{n_{2}}$ = (a₂; b₂)

on kollineaarsed ja vabaliikmete suhe on võrdne vektorite vastavate koordinaatide suhtega.

$\frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{b_{1}}{b_{2}} = \frac{c_{1}}{c_{2}}$

Kaks sirget y = k₁x + b₁ ja y = k₂x + b₂ on ühtivad parajasti siis, kui nende sihivektorid

$\vec{s_{1}}$ = (1; k₁) ja $\vec{s_{2}}$ = (1; k₂)

on kollineaarsed ja vabaliikmete suhe on võrdne vektorite vastavate koordinaatide suhtega.

$\frac{1}{1} = \frac{k_{1}}{k_{2}} = \frac{b_{1}}{b_{2}}$

Seega kaks sirget on ühtivad parajasti siis, kui nende tõusud ja algordinaadid on võrdsed.

k₁ = k₂, b₁ = b₂

Näide 2

Milline arv sobib parameetrite m ja n asemele, et sirged ühtiksid?

s: 2x – 4y + 6 = 0

t: –5x + my + m – n = 0

Kordajate jagatised peavad olema võrdsed, seega

$\frac{2}{- 5} = \frac{- 4}{m},$ m = 10.

Vabaliikmete suhe peab võrduma muutujate kordajate suhtega, seega

$\frac{2}{- 5} = \frac{6}{10 - n}$ , n = 25.

Vastus

Sirged s ja t on ühtivad sirged.

s ∥ t, seega
s: y = 5x – 4 ja
t: y =
s ja t ühtivad, seega
s: y = 5x – 4 ja
t: y =
s ∥ t, seega
s: 5x – 4y + 6 = 0 ja
t: = 0
s ja t ühtivad, seega
s: –x – 0,2y – 2 = 0 ja
t: y =

Seotud sisu

Ristumine

Vaatleme kahte sirget, mille võrrandid on

a₁x + b₁y + c₁ = 0 ja a₂x + b₂y + c₂ = 0.

Sirgete asend on määratud nende sihivektoritega $\vec{s_{1}}$ ja $\vec{s_{2}}$ või normaalvektoritega $\vec{n_{1}}$ ja $\vec{n_{2}} .$

Ristuvate sirgete sihi- ja normaalvektorite paiknemine

Märka

Kui sirged on ristuvad, siis nende normaalvektorid on risti ehk nende skalaarkorrutis on 0. Sama kehtib ka sihivektorite kohta.

Ristuvad sirged

Kaks sirget on ristuvad parajasti siis, kui nende normaalvektorite

$\vec{n_{1}}$ = (a₁; b₁) ja $\vec{n_{2}}$ = (a₂; b₂)

skalaarkorrutis on 0.

$\vec{n_{1}} \cdot \vec{n_{2}} = 0$ ehk $a_{1} a_{2} + b_{1} b_{2} = 0$

Kaks sirget y = k₁x + b₁ ja y = k₂x + b₂ on ristuvad parajasti siis, kui nende sihivektorid

$\vec{s_{1}}$ = (1; k₁) ja $\vec{s_{2}}$ = (1; k₂)

on risti ja nende skalaarkorrutis on 0.

$\vec{s_{1}} \cdot \vec{s_{2}} = 0$ ehk $1 \cdot 1 + k_{1} k_{2} = 0$

Seega, kaks sirget on risti parajasti siis, kui nende tõusude korrutis võrdub miinus ühega.

k₁ · k₂ = –1

Näide 3

Ruudu üks külg asub sirgel s: 2x – 5y + 1 = 0 ja selle üks tipp on A(2; –1). Leiame tipust A väljuvate ruudu külgede võrrandid.

Lahendus

A ∉ s, sest
2 · 2 – 5 · (–1) + 1 ≠ 0.
n→ = (2; –5) sobib
- tipust A väljuva sirge normaalvektoriks paralleelsuse tõttu või
- ristuva sirge sihivektoriks.

Seega $\vec{s}$ = (5; 2), sest $\vec{s_{1}} \cdot \vec{n_{2}} = 0$ .
Koostame sirge võrrandi punkti A ja sihi $\vec{s}$ kaudu.

$\frac{x - 2}{5} = \frac{y + 1}{2}$

Koostame sirge võrrandi punkti A ja sihi $\vec{n}$ kaudu.

$\frac{x - 2}{2} = \frac{y + 1}{-5}$

Vastus

Tipust A väljuvad ristuvad sirged on

2x – 5y – 9 = 0,
5x + 2y – 8 = 0.

Millised süsteemis esitatud sirged on risti?

$\{\begin{cases} 3 x - 2 y + 1 = 0 \\ 2 x + 3 y - 1 = 0 \end{cases}$
$\{\begin{cases} -1,2 x - y - 5 = 0 \\ 3,6 x - 4,32 y + 1,5 = 0 \end{cases}$
$\{\begin{cases} y = \frac{3}{4} x - 7 \\ y = \frac{4}{3} x - 1 \end{cases}$
$\{\begin{cases} \frac{x - 2}{- 4} = \frac{y + 1}{5} \\ y = \frac{4}{5} x - 0,5 \end{cases}$

Millise muutuja y kordaja korral on sirged risti?
–4x + 3y – 5 = 0 ja
3x + y + 1 = 0
Millise muutuja x kordaja korral on sirged risti?
– 0,4x – 0,2y + 0,3 = 0 ja
x + $4 \frac{1}{5}$ y + 3 = 0
Millise vabaliikme c korral on sirged 2x + y – 5 = 0 ja –x – 2y + c = 0 risti?

–5 · c = 0
$\frac{-5}{c} = \frac{1}{-2}$
c ei mõjuta ristumist

Seotud sisu

Lõikumine

Vaatleme kahte sirget, mille võrrandid on

a₁x + b₁y + c₁ = 0 ja a₂x + b₂y + c₂ = 0.

Sirgete asend on määratud nende sihivektoritega $\vec{s_{1}}$ ja $\vec{s_{2}}$ või normaalvektoritega $\vec{n_{1}}$ ja $\vec{n_{2}} .$

Lõikuvate sirgete sihi- ja normaalvektorite paiknemine. α ja β on sirgete tõusunurgad, φ on sirgetevaheline nurk

Nurk kahe sirge vahel on võrdne nii nurgaga nende sihivektorite vahel kui ka nurgaga normaalvektorite vahel. Vektorite vahelise nurga koosinuse saab avaldada skalaarkorrutise kaudu.

$\cos φ = \frac{\vec{n_{1}} \cdot \vec{n_{2}}}{|\vec{n_{1}}| \cdot |\vec{n_{2}}|}$ või $\cos φ = \frac{\vec{s_{1}} \cdot \vec{s_{2}}}{|\vec{s_{1}}| \cdot |\vec{s_{2}}|}$

Märka

Kahest võimalikust nurgast sirgete vahel valitakse väiksem ehk teravnurk. Teravnurga koosinus on aga positiivne. Seega tuleb koosinuse avaldisest võtta absoluutväärtus.

$\cos φ = |\frac{\vec{n_{1}} \cdot \vec{n_{2}}}{|\vec{n_{1}}| \cdot |\vec{n_{2}}|}|$ või $\cos φ = |\frac{\vec{s_{1}} \cdot \vec{s_{2}}}{|\vec{s_{1}}| \cdot |\vec{s_{2}}|}|$

Leiame nurga sirgete n ja m vahel.

n: 3x + 6y+ 7 = 0,
$\vec{n}$ = (3; 6) on
m: 6x – 2y – 11 = 0,
$\vec{m}$ = (6; –2) on

Sirgetevahelise nurga koosinuse leidmiseks on vaja teada sihi või normaalvektorite skalaarkorrutist ja vektorite pikkusi.
- $\vec{n} \cdot \vec{m}$ =
- $|\vec{n}| = \sqrt{}$
- $|\vec{m}| = \sqrt{}$
$\cos φ = \frac{\vec{n} \cdot \vec{m}}{|\vec{n}| \cdot |\vec{m}|}$
cos φ ≈ 0,14142

Vastus

Nurk sirgete vahel on φ = 81° 52’.

y = 4x – 3 ja 3x + 2y – 27 = 0, nurga arvutamiseks sobiv vektorite paar on

(–4; 1) ja (3; 2)
(4; 1) ja (3; 2)
(1; 4) ja (–2; 3)

Nurk vektorite vahel on ≈°.

x – 5y + 42 = 0 ja 3x + 2y – 27 = 0, nurga arvutamiseks sobiv vektorite paar on

(1; –5) ja (3; 2)
(5; 1) ja (2; –3)
(1; 5) ja (3; 2)

Nurk vektorite vahel on ≈°.

y = 4x – 3 ja x – 5y + 42 = 0, nurga arvutamiseks sobiv vektorite paar on

(4; 1) ja (1; –5)
(–4; 1) ja (1; –5)
(1; 4) ja (5; 1)

Nurk vektorite vahel on ≈°.

Seotud sisu

Harjuta ja treeni

2x – y – 5 = 0 ja 2x – y + 4 = 0
- on
- nurk nende vahel on °
–5x – y + 3 = 0 ja 10x + 2y – 6 = 0
- on
- nurk nende vahel on °
4x + 7y – 5 = 0 ja 3x – y + 12 = 0
- on
- nurk nende vahel on °
x – y = 0 ja 2x + 7 = 0
- on
- nurk nende vahel on °
3y – 4 = 0 ja 2x – 5 = 0
- on
- nurk nende vahel on °.
6x + 3y – 9 = 0 ja 2x + y – 3 = 0
- on
- nurk nende vahel on °

Läbi punkti M(–4; 3) on tõmmatud kaks sirget, millest üks lõikab x-telge kohal 2 ja teine lõikab y-telge kohal 11. Arvuta nurk sirgete vahel.

Vastus

Nurk on °

Läbi punkti M(–4; 3) on tõmmatud kaks sirget, millest ühe tõus on 0 ja teine läbib punkti C(0; 7). Arvuta nurk sirgete vahel.

Vastus

Nurk on °

Läbi punkti M(–4; 3) on tõmmatud kaks sirget, millest üks läbib punkti A(2; –1) ja teine punkti B(3; 5). Arvuta nurk AMB.

Vastus

∠AMB ≈ °

Läbi punkti M(–4; 3) on tõmmatud kaks sirget, millest ühe sihivektor on

$\vec{s}$ = (2; –1)

ja teise normaalvektor on

$\vec{n}$ = (3; 5).

Arvuta nurk sirgete vahel.

Vastus

Nurk on ≈ °

Rööpkülikut ei moodustu, kui
s: .
Rööpkülik on romb, kui
s: .

Seotud sisu

Tunne ära

y = k1x + b1

paralleelsus
ühtivus
ristumine
lõikumine

$\frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{b_{1}}{b_{2}} \neq \frac{c_{1}}{c_{2}}$
$\frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{b_{1}}{b_{2}} = \frac{c_{1}}{c_{2}}$
$a_{1} a_{2} + b_{1} b_{2} = 0$
k₁ = k₂, b₁ ≠ b₂
k₁ = k₂, b₁ = b₂
$1 \cdot 1 + k_{1} k_{2} = 0$
$k_{1} k_{2} = -1$
Sirgete vahel puudub paralleelsus ja ristumine, seega on nende vahel .

Seotud sisu

Teenust osutab Star Cloud OÜ

Liitu Opiquga

Opiqus edenemine

	Tööd
	Peatükk on läbi töötatud

Kahe sirge vastastikune asend

Seotud sisu

Paralleelsus

Märka vektoreid

Paralleelsed sirged

Näide 1

Vastus

Ühtivad sirged

Näide 2

Vastus

Seotud sisu

Ristumine

Märka

Ristuvad sirged

Näide 3

Lahendus

Vastus

Seotud sisu

Lõikumine

Märka

Vastus

Seotud sisu

Harjuta ja treeni

Vastus

Vastus

Vastus

Vastus

Seotud sisu

Tunne ära

Seotud sisu

Lisa materjali

Lisatavad failid

Teata veast

Teata siia ainult Opiqu veast. Palun kirjelda viga nii täpselt kui võimalik.

Kui ootad Opiqu meeskonnalt vastust, lisa oma kontaktandmed (e-post, telefon).

Tee linnuke, et aidata meil spämmiga võidelda

Opiq kasutab küpsiseid