Сокращение обыкновенных дробей

Основное свойство обыкновенной дроби

Сокращение обыкновенных дробей

Упражнения A

Упражнения Б

Чтобы найти $\frac{4}{8}$ целого, разделим это целое сначала на две равные части, затем на четыре и, наконец, на восемь равных частей. Рисунок показывает, что дроби $\frac{4}{8}$ , $\frac{2}{4}$ и $\frac{1}{2}$ выражают одну и ту же часть целого.

Итак, чтобы найти $\frac{4}{8}$ целого, нужно найти $\frac{1}{2}$ этого целого $\frac{1}{2}$ получается, если разделить числитель и знаменатель дроби $\frac{4}{8}$ на одно и то же число 4.

Разделим теперь целое сначала на 2, затем на 4, на 6, на 8 и на 10 равных частей. На рисунке видно, что дроби $\frac{1}{2}$ , $\frac{2}{4}$ , $\frac{3}{6}$ , $\frac{4}{8}$ и $\frac{5}{10}$ изображают одну и ту же часть целого (полукруг).

Значит, чтобы найти $\frac{1}{2}$ целого, можно найти, например, $\frac{2}{4}$ или $\frac{5}{10}$ целого. Заметим, что каждая из этих дробей может быть получена из другой путем умножения или деления ее числителя и знаменателя на одно и то же число.

Рассмотренные примеры позволяют сформулировать основное свойство обыкновенной дроби.

Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится дробь, равная данной.

из дроби $\frac{1}{2}$ получены все остальные дроби;
из дроби $\frac{4}{8}$ получены дроби $\frac{2}{4}$ и $\frac{1}{2}$ .

Seotud sisu

Деление числителя и знаменателя дроби на одно и то же отличное от нуля натуральное число называется сокращением дроби.

$\frac{3}{6} = \frac{3 ∶ 3}{6 ∶ 3} = \frac{1}{2}$ (дробь сокращена на 3).

$\frac{25}{15} = \frac{25 ∶ 5}{15 ∶ 5} = \frac{5}{3}$ (дробь сокращена на 5).

При письменных вычислениях действие деления числителя и знаменателя на одно и то же число обычно не указывают и сокращенную дробь записывают сразу за знаком равенства. Например, $\frac{3}{9} = \frac{1}{3}$ или $\frac{3^{1}}{9_{3}} = \frac{1}{3}$ .

Сократить дробь можно только тогда, когда ее числитель и знаменатель имеют общий делитель, отличный от единицы. Если такого общего делителя нет, то дробь сократить нельзя. Такая дробь называется несократимой дробью. Например, дроби $\frac{5}{6}$ , $\frac{3}{4}$ , $\frac{11}{8}$ несократимые.

Сокращать дробь можно двумя способами:

постепенно, подбирая подходящие общие делители числителя и знаменателя, пока не получится несократимая дробь;
сразу, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель.

Наибольший общий делитель чисел – это наибольшее число, на которое делятся все данные числа.

Сократим дробь $\frac{42}{70}$ .

Первый способ.
$\frac{42}{70} = \frac{21}{35} = \frac{3}{5}$ (сначала сократили на 2, затем на 7).

Второй способ.
Найдем наибольший общий делитель чисел 42 и 70 – это число 14. Сократим дробь на 14 и получим $\frac{42}{70} = \frac{3}{5}$ .

$\frac{2}{4}$ = $\frac{}{}$	$\frac{4}{6}$ = $\frac{}{}$
$\frac{6}{8}$ = $\frac{}{}$	$\frac{9}{12}$ = $\frac{}{}$
$\frac{3}{9}$ = $\frac{}{}$	$\frac{18}{4}$ = $\frac{}{}$
$\frac{10}{5}$ = $\frac{}{}$ =	$\frac{10}{8}$ = $\frac{}{}$

Seotud sisu

основное свойство дроби;
что значит сократить дробь;
на какое число нужно сократить дробь, чтобы получить несократимую дробь.

$\frac{1}{2} = \frac{}{}$	$\frac{3}{4} = \frac{}{}$	$\frac{8}{5} = \frac{}{}$	$\frac{5}{6} = \frac{}{}$
$\frac{10}{3} = \frac{}{}$	$\frac{1}{10} = \frac{}{}$	$\frac{5}{1} = \frac{}{}$

$\frac{5}{10} = \frac{}{}$	$\frac{30}{40} = \frac{}{}$	$\frac{15}{35} = \frac{}{}$	$\frac{100}{80} = \frac{}{}$
$\frac{90}{120} = \frac{}{}$	$\frac{125}{1000} = \frac{}{}$	$\frac{85}{500} = \frac{}{}$	$\frac{245}{200} = \frac{}{}$

$\frac{3}{9} = \frac{}{}$	$\frac{6}{12} = \frac{}{}$
$\frac{10}{15} = \frac{}{}$	$\frac{15}{20} = \frac{}{}$
$\frac{16}{18} = \frac{}{}$	$\frac{4}{16} = \frac{}{}$
$\frac{15}{24} = \frac{}{}$

Запиши три дроби, равные $\frac{8}{24}$ , числители которых меньше числителя данной дроби.

$\frac{}{}$ , $\frac{}{}$ , $\frac{}{}$

Отметь на луче точки, соответствующие дробям $\frac{1}{6}$ , $\frac{3}{6}$ , $\frac{5}{6}$ , $\frac{2}{6}$ , $\frac{1}{3}$ , $\frac{2}{3}$ и $\frac{1}{2}$ .

Почему некоторые из отмеченных точек соответствуют двум дробям?

Дробь	Наибольший общий делитель	Сокращенная дробь	Дробь	Наибольший общий делитель	Сокращенная дробь
$\frac{2}{4}$		$\frac{}{}$	$\frac{3}{6}$		$\frac{}{}$
$\frac{4}{6}$		$\frac{}{}$	$\frac{6}{9}$		$\frac{}{}$
$\frac{4}{10}$		$\frac{}{}$	$\frac{5}{15}$		$\frac{}{}$
$\frac{10}{30}$		$\frac{}{}$	$\frac{18}{20}$		$\frac{}{}$
$\frac{6}{12}$		$\frac{}{}$	$\frac{10}{100}$		$\frac{}{}$

$\frac{5}{6}$ , $\frac{9}{6}$ , $\frac{4}{9}$ , $\frac{8}{12}$ , $\frac{12}{18}$ , $\frac{3}{10}$ , $\frac{6}{24}$ , $\frac{9}{24}$

1) $\frac{}{} = \frac{}{}$		2) $\frac{}{} = \frac{}{}$		3) $\frac{}{} = \frac{}{}$
4) $\frac{}{} = \frac{}{}$			5) $\frac{}{} = \frac{}{}$

Исходная дробь	На какое число?	Сокращен-ная дробь
$\frac{}{}$		$\frac{}{}$
$\frac{}{}$		$\frac{}{}$

Исходная дробь	На какое число?	Сокращенная дробь
$\frac{}{}$		$\frac{}{}$
$\frac{}{}$		$\frac{}{}$

$\frac{12}{15} = \frac{}{}$	$\frac{18}{54} = \frac{}{}$
$\frac{36}{42} = \frac{}{}$	$\frac{48}{42} = \frac{}{}$
$\frac{14}{35} = \frac{}{}$	$\frac{16}{10} = \frac{}{}$
$\frac{18}{15} = \frac{}{}$	$\frac{21}{7} = \frac{}{} =$

$\frac{36}{64} = \frac{}{}$	$\frac{72}{81} = \frac{}{}$
$\frac{45}{60} = \frac{}{}$	$\frac{12}{45} = \frac{}{}$
$\frac{9}{30} = \frac{}{}$	$\frac{17}{51} = \frac{}{}$
$\frac{22}{66} = \frac{}{}$	$\frac{24}{56} = \frac{}{}$

$\frac{21}{300} = \frac{}{}$	$\frac{60}{100} = \frac{}{}$
$\frac{250}{1000} = \frac{}{}$	$\frac{500}{2000} = \frac{}{}$
$\frac{120}{150} = \frac{}{}$	$\frac{60}{144} = \frac{}{}$
$\frac{140}{770} = \frac{}{}$	$\frac{420}{600} = \frac{}{}$

$\frac{3}{10}$ кг и $\frac{6}{20}$ кг;
$\frac{2}{5}$ м и $\frac{40}{100}$ м;
$\frac{10}{50}$ м и $\frac{200}{1000}$ м;

Какую часть килограмма составляют

80 г?

$\frac{}{}$

400 г?

$\frac{}{}$

750 г?

$\frac{}{}$

Какую часть метра составляют

25 см?

$\frac{}{}$

50 см?

$\frac{}{}$

90 см?

$\frac{}{}$

Какую часть квадратного метра составляют

8 дм²?

$\frac{}{}$

55 дм²?

$\frac{}{}$

72 дм²?

$\frac{}{}$

Seotud sisu

$\frac{3}{9} = \frac{x}{3}$

$\frac{3}{9} = \frac{}{3}$

$\frac{5}{10} = \frac{1}{x}$

$\frac{5}{10} = \frac{1}{}$

$\frac{8}{12} = \frac{x}{3}$

$\frac{8}{12} = \frac{}{3}$

$\frac{15}{20} = \frac{3}{x}$

$\frac{15}{20} = \frac{3}{}$

$\frac{21}{35} = \frac{x}{5}$

$\frac{21}{35} = \frac{}{5}$

Равенство		Обоснование
$\frac{28}{42} = \frac{7}{21}$
$\frac{9}{10} = \frac{54}{60}$
$\frac{4}{20} = \frac{120}{300}$
$\frac{66}{88} = \frac{3}{4}$

$\frac{24}{36} = \frac{}{}$	$\frac{15}{42} = \frac{}{}$
$\frac{39}{21} = \frac{}{}$	$\frac{450}{180} = \frac{}{}$
$\frac{75}{90} = \frac{}{}$

$\frac{12}{x} = \frac{3}{4}$
x =

$\frac{1}{5} = \frac{x}{45}$
x =

$\frac{60}{100} = \frac{3}{x}$
x =

$\frac{x}{3} = \frac{48}{72}$
x =

Составное число всегда можно записать как произведение простых множителей.
24 = 2 · 2 · 2 · 3

$\frac{147}{210} = \frac{}{}$

$\begin{matrix} 147 \end{matrix}$

$\begin{matrix} 210 \end{matrix}$

НОД(147;210) =

$\frac{26}{390} = \frac{}{}$

$\begin{matrix} 26 \end{matrix}$

$\begin{matrix} 390 \end{matrix}$

НОД(26;390) =

$\frac{206}{618} = \frac{}{}$

$\begin{matrix} 206 \end{matrix}$

$\begin{matrix} 618 \end{matrix}$

НОД(206;618) =

$\frac{114}{171} = \frac{}{}$

$\begin{matrix} 114 \end{matrix}$

$\begin{matrix} 171 \end{matrix}$

НОД(114;171) =

$\frac{1008}{1224} = \frac{}{}$

$\begin{matrix} 1008 \end{matrix}$

$\begin{matrix} 1224 \end{matrix}$

НОД(1008;1224) =

Ответ: дробь можно было сразу сократить на .

Пример:

$\frac{21 \cdot 16}{28}$ = $\frac{\cdot}{}$ =

$\frac{36}{18 \cdot 14}$ = $\frac{}{\cdot}$ = $\frac{}{}$

$\frac{12 \cdot 5}{15 \cdot 3}$ = $\frac{\cdot}{\cdot}$ = $\frac{}{}$

$\frac{45 \cdot 11}{22 \cdot 18}$ = $\frac{\cdot}{\cdot}$ = $\frac{}{}$

Подбрасывайте одновременно по две игральные кости. Постарайся составить из выпавших очков правильную дробь. Если этого сделать нельзя, то сделай новый бросок. Сократи полученные правильные дроби, если это возможно. Если в результате получишь дробь $\frac{1}{2}$ , то запиши себе 1 очко.

Заполни таблицу результатов. Подбросьте кубики не менее 10 раз каждый.

Бросок №	Составленная дробь	Сокращенная дробь	Получил очков
1-й бросок	$\frac{}{}$	$\frac{}{}$
2-й бросок	$\frac{}{}$	$\frac{}{}$
3-й бросок	$\frac{}{}$	$\frac{}{}$
4-й бросок	$\frac{}{}$	$\frac{}{}$
5-й бросок	$\frac{}{}$	$\frac{}{}$

Бросок №	Составленная дробь	Сокращенная дробь	Получил очков
6-й бросок	$\frac{}{}$	$\frac{}{}$
7-й бросок	$\frac{}{}$	$\frac{}{}$
8-й бросок	$\frac{}{}$	$\frac{}{}$
9-й бросок	$\frac{}{}$	$\frac{}{}$
10-й бросок	$\frac{}{}$	$\frac{}{}$