Если знаменателем обыкновенной дроби является 10, 100, 1000 и т. п., то обыкновенная дробь очень просто переводится в десятичную (см. § 2.1). Например, = 0,13, так как обе дроби выражают одну и ту же часть целого.
Но что делать в случае, когда знаменатель обыкновенной дроби не является разрядной единицей 10, 100, 1000 и т. п.? Некоторые из таких дробей можно расширить до дроби с этим знаменателем. После этого расширенные дроби легко перевести в десятичные.
 |
||||||||
Для того чтобы узнать, какие обыкновенные дроби можно таким способом перевести в десятичные, представим разрядные единицы 10, 100, 1000, … в виде произведения простых множителей:
10 = 2 ⋅ 5
100 = 2 ⋅ 2 ⋅ 5 ⋅ 5
1000 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5
Сокращенную обыкновенную дробь можно перевести в обыкновенную со знаменателем 10, 100, 1000, … , если единственными простыми множителями ее знаменателя являются 2 и 5.
 |
||||||||
Простыми множителями знаменателя могут быть только 2 или 5.
=
=
=
=
=
=
=
=
= = =
= = =
= = =
= = =
= = =
= = =
= = =
= = =
Если дробь нельзя расширить до знаменателя 10, 100, 1000 и т.д.
Рассмотрим теперь такие дроби, которые нельзя расширить до знаменателя 10, 100, 1000 и т. д. Такова, например, дробь . Почему? Подобными дробями являются также , и .
Вспомним с помощью примеров правила деления десятичных дробей.
 |
||||||||
0,4 : 0,2 = 4 : 2 = 2 2,52 : 0,3 = 25,2 : 3 = 8,4 7 : 10 = 0,7 | Свойство частного: делимое и делитель можно умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число; частное при этом не изменится. |
Рассмотрим еще раз пример 7 : 10 = 0,7.
Мы знаем, что 0,7 = , следовательно = 7 : 10.
Обыкновенную дробь можно рассматривать как частное от деления двух натуральных чисел и перевести ее в десятичную можно, выполнив это деление.
Однако, всегда ли такое деление закончится через несколько шагов? Попробуем перевести дробь в десятичную. Если вычислять правильно, то при нахождении частного 7 : 11 деление никогда не заканчивается: = 0,636363… Получился ли у тебя такой же результат? Точки в конце числа показывают, что деление не закончилось. Получилась бесконечная десятичная дробь, в то время как во всех предыдущих примерах получались конечные десятичные дроби. В бесконечной десятичной дроби 0,636363... рядом стоящие цифры 6 и 3 повторяются подряд бесконечное число раз (так, что между ними нет других цифр). Бесконечно повторяющуюся подряд группу цифр называют периодом бесконечной десятичной дроби, а саму дробь называют периодической. Итак, обыкновенная дробь обратилась в периодическую десятичную дробь 0,636363... Ее период равен 63.
Можно показать, что любая обыкновенная дробь обращается либо в конечную десятичную дробь, либо в периодическую дробь. Третьей возможности нет. При этом конечная десятичная дробь получается только тогда, когда после сокращения обыкновенной дроби ее знаменатель не имеет простых множителей, отличных от 2 и 5. Во всех остальных случаях получается периодическая десятичная дробь. Например, дробь выражается периодической десятичной дробью, так как среди простых множителей знаменателя есть число 3 (6 = 2 · 3). Вычисление показывает, что = 0,8333… Обыкновенная дробь переводится в конечную десятичную дробь, так как 20 = 2 · 2 · 5, то есть ее знаменатель не имеет простых множителей, отличных от 2 и 5. Действительно, = 0,55.
Упражнения A
 |
||||||||
- как перевести обыкновенную дробь в десятичную;
- что такое периодическая десятичная дробь.
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
Упражнения Б
 |
||||||||
270. Сыграем в кости
Подбрось две игральные кости и составь обыкновенную дробь. Переведи эту дробь в десятичную. В каждом случае обоснуй, почему в ответе получается конечная или же бесконечная десятичная дробь.
 |  |
=
=
=
=
=
Что можно сказать о периодах полученных десятичных дробей?
Попробуй перевести дробь в десятичную, не прибегая к вычислениям.
=
 | ||||||||||||
С помощь калькулятора переведи дробь в десятичную с 16 десятичными знаками.
=
Указание. Скорее всего, твой калькулятор не показывает столько знаков после запятой. Чтобы решить задачу, запиши в тетрадь показания калькулятора при делении 2 : 17, а также еще некоторые результаты деления на 17, например, 1 : 17, 3 : 17, 4 : 17 и 5 : 17. Найди закономерность для получения необходимого числа десятичных знаков для частного 2 : 17.
