Рассмотрим какую-нибудь из вершин треугольника. Из нее можно провести бесконечно много отрезков, соединяющих вершину с противолежащей стороной треугольника или с продолжением этой стороны. Например, отрезки CD, CE, CF, CG в треугольнике АВС на рисунке слева или MP, MQ, ML, MN, MR в треугольнике KML на рисунке справа. Однако среди всех этих отрезков только один (почему?) перпендикулярен противолежащей стороне (отрезок CE на рисунке слева) или ее продолжению (отрезок MN на рисунке справа).
Перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к противолежащей стороне или к ее продолжению (в случае тупоугольного треугольника), а также длина этого перпендикуляра называется высотой треугольника. Так как длина перпендикуляра, проведенного из точки к прямой, есть расстояние от этой точки до данной прямой (см. § 5.5), то можно сказать, что высота треугольника показывает, каково расстояние от вершины треугольника до противолежащей стороны или до продолжения этой стороны.
Сторону, к которой проведена высота, называют в этом случае основанием треугольника. Например, в треугольнике АВС отрезок CD – высота, проведенная к стороне AB (рисунок 1), а сторона AB является в этом случае основанием.
На рисунке 2 изображена высота FG, проведенная из вершины F острого угла тупоугольного треугольника DEF. Основанием здесь является сторона DE. В этом случае точку F нельзя соединить перпендикуляром с основанием, поэтому необходимо продолжить основание и провести перпендикуляр.
Высота, проведенная из вершины острого угла прямоугольного треугольника, совпадает с одним из катетов, а основанием будет являться в этом случае другой катет (рисунок 3).
Так как у треугольника три вершины, то он имеет и три высоты. Поэтому каждая сторона треугольника является основанием для высоты, проведенной из противолежащей этой стороне вершины.
Высоты, проведенные из вершин остроугольного треугольника.
Высоты, проведенные из вершин тупоугольного треугольника.
Точными рассуждениями можно показать, что три высоты треугольника или продолжения этих высот (в случае тупоугольного треугольника) всегда пересекаются в одной точке (на рисунке в точке О).
Замечание. С понятием основания мы уже встречались при изучении равнобедренного треугольника. Однако в произвольном треугольнике его сторону называют основанием только тогда, когда к этой стороне проведена высота. В равнобедренном треугольнике сторона, противолежащая углу при вершине, всегда является основанием, независимо от того, проведена к ней высота или нет.
В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию (т. е. к стороне, противолежащей углу при вершине), является одновременно биссектрисой угла при вершине.
Упражнения A
 |
||||||||
- что такое высота треугольника и чему она равна;
- что такое основание треугольника;
- что является высотой, проведенной из вершины острого угла прямоугольного треугольника.
837. Высота и основание треугольника
Вырежи из бумаги различные треугольники и перегни их вдоль высоты. Вспомни, как перегнуть бумагу, чтобы получить перпендикуляр к прямой. Для каждого треугольника обозначь его высоту или высоты. Объясни, почему иногда нельзя с помощью сгибания получить все высоты треугольника.
839. Высота и основание треугольника
Начерти остроугольный треугольник ABC и проведи все его высоты. Измерь каждую высоту и соответствующее ей основание.
840. Высота и основание треугольника
Начерти тупоугольный треугольник KLM и проведи в нем все высоты. Измерь каждую высоту и соответствующее ей основание.
841. Высота и основание треугольника
Начерти прямоугольный треугольник CDE и его высоту, проведенную к гипотенузе. Измерь высоту и основание.
842. Высота и основание треугольника
Начерти равнобедренный треугольник FGH и все его высоты. Измерь и сравни между собой высоты этого треугольника.
843. Высота и основание треугольника
Начерти равносторонний треугольник RST, проведи в нем все высоты и сравни их между собой.
Ответ: расстояние от вершины C до продолжения противолежащей стороны равно см.
Ответ: эти расстояния (в порядке убывания длин) равны см, см, см.
Ответ: расстояние от точки G до противолежащей стороны равно см.
Упражнения Б
 |
||||||||
 | ||||||
- две его высоты равны между собой и расположены вне треугольника;
Этот треугольник и . - все его высоты делят пополам соответствующие основания;
Этот треугольник и . - две его высоты взаимно перпендикулярны?
Этот треугольник .
851.* Высота и основание треугольника
Построй треугольник, в котором одна сторона равна 6 cм, прилежащий к ней угол равен 50°, а высота, проведенная к этой стороне, равна 5 cм.
См. Приложение 11.
- Начерти остроугольный треугольник ABC и все его высоты. Измерь все пары высот и соответствующих оснований.
- Начерти тупоугольный треугольник KLM и все его высоты. Измерь все пары высот и соответствующих оснований.
- Начерти прямоугольный треугольник CDE и его высоту, если за основание взята гипотенуза. Измерь основание и высоту.
- Начерти равнобедренный треугольник FGH и все его высоты. Сравни между собой эти высоты.
- Начерти равносторонний треугольник RST и все его высоты. Сравни эти высоты.
852. Программа GeoGebra
Реши задания 839–843 с помощью программы GeoGebra. Исследуй, где пересекаются высоты треугольников.
См. Приложение 11.
- Начерти остроугольный треугольник ABC и все его высоты. Измерь все пары высот и соответствующих оснований.
- Начерти тупоугольный треугольник KLM и все его высоты. Измерь все пары высот и соответствующих оснований.
- Начерти прямоугольный треугольник CDE и его высоту, если за основание взята гипотенуза. Измерь основание и высоту.
- Начерти равнобедренный треугольник FGH и все его высоты. Сравни между собой эти высоты.
- Начерти равносторонний треугольник RST и все его высоты. Сравни эти высоты.
