На рисунке изображен равнобедренный треугольник ABC и отрезок CD – биссектриса угла при вершине этого треугольника.
 | ||||||||
Перегнем мысленно этот чертеж вдоль биссектрисы. Так как ∠ACD = ∠BCD и AC = BC, то боковые стороны AC и BC совпадут. Точно так же совпадут и отрезки AD и BD. Значит, равнобедренный треугольник симметричен относительно биссектрисы угла при вершине. Из симметричности получаем, что ∠A = ∠B и ∠ADC = ∠BDC.
Но так как ∠ADC + ∠BDC = 180° (как смежные углы), то ∠ADC = ∠BDC = 90°.
Из симметричности равнобедренного треугольника следуют его свойства:
1) в равнобедренном треугольнике углы при основании равны;
2) в равнобедренном треугольнике биссектриса угла при вершине перпендикулярна основанию и делит его пополам.
Этими свойствами обладает и равносторонний треугольник. Углом при вершине можно считать любой, и значит все углы равностороннего треугольника равны. Поэтому в равностороннем треугольнике каждый угол равен 60° (объясни, почему).
 |
||||||||
Угол при вершине равнобедренного треугольника равен 80°. Найдем углы при основании.
Решение. Сумма углов при основании равна 180° – 80° = 100°. Так как углы при основании равны, то каждый из них равен 100° : 2 = 50°.
Ответ: каждый из углов при основнии равен 50°.
Упражнения A
 |
||||||||
813. Свойства равнобедренного треугольника
Вырежи из бумаги достаточно большой равнобедренный треугольник. Перегни его по оси симметрии и обоснуй при помощи этого сгибания свойства равнобедренного треугольника. Запиши соответствующие обозначения и свойства на вырезанном из бумаги треугольнике.
- пары равных отрезков;
- пары равных углов.
∠C =°
∠B = °
∠A =°
∠B = °
∠A =°
∠B = °
∠A =°
∠C = °
∠K =°
∠M = °
∠L = °
∠K =°
∠M = °
∠L = °
Угол при основании | Угол при вершине |
18° | ° |
70° | ° |
Угол при основании | Угол при вершине |
43° | ° |
31° | ° |
Угол при основании | Угол при вершине |
80° | ° |
64° | ° |
Угол при основании | Угол при вершине |
10° | ° |
25° | ° |
Угол при вершине | Угол при основании |
116° | ° |
8° | ° |
26° | ° |
52° | ° |
Угол при вершине | Угол при основании |
14° | ° |
120° | ° |
44° | ° |
100° | ° |
 | ||||||||
Ответ: периметр треугольника равен см.
 | ||||||||
Ответ: периметр треугольника равен см.
Ответ: боковая сторона равна см.
Ответ: биссектриса угла при вершине делит основание на отрезки длиной м и м.
- равнобедренный треугольник;
- равносторонний треугольник?
824. Свойства равнобедренного треугольника
Построй равнобедренный треугольник с основанием 4,6 cм и боковой стороной 5,8 cм. Начерти ось симметрии треугольника.
825. Свойства равнобедренного треугольника
Построй равнобедренный треугольник, основание которого 3,5 cм, а угол при основании равен 50°. Начерти ось симметрии треугольника.
826. Свойства равнобедренного треугольника
Построй равносторонний треугольник со стороной 5 cм. Начерти все оси симметрии треугольника.
Упражнения Б
 |
||||||||
827. Свойства равнобедренного треугольника
Построй равнобедренный треугольник, в котором угол при вершине равен 64°, а биссектриса этого угла имеет длину 3,6 см.
828. Свойства равнобедренного треугольника
Построй равнобедренный треугольник, в котором основание равно 4 см, а биссектриса угла при вершине – 5 см.
829. Свойства равнобедренного треугольника
Построй равнобедренный треугольник, в котором биссектриса угла при вершине равна 4,6 cм, а боковая сторона – 5,5 cм.
∠x =°
∠y = °
∠x =°
∠y = °
∠x =°
∠y = °
∠AOB | ∠A | ∠B | ∠C |
92° | ° | ° | ° |
100° | ° | ° | ° |
150° | ° | ° | ° |
178° | ° | ° | ° |
Каким условиям должна удовлетворять величина данного угла, чтобы задача имела решение?
Найди углы треугольника KLR.
∠RKL =°
∠RLK = °
∠KRL = °
∠x =°
∠y = °
∠x =°
∠y = °
∠x = °
∠y = °
835. Программа GeoGebra
Проиллюстрируй справедливость свойств равнобедренного треугольника с помощью программы GeoGebra.
См. Приложение 10.
