Kahe tasandi vastastikune asend

Tasandite normaalvektorite võrdlemine
Tasandite ühtimine ja paralleelsus
Tasandite lõikumine
Ristuvad tasandid

Asend

Kaks tasandit võivad olla paralleelsed, ühtivad või lõikuvad ehk mitteparalleelsed. Kui tasandid on ühtivad, siis on tegemist ühe ja sama tasandiga.

α ja β on lõikuvad tasandid

γ ja δ on paralleelsed tasandid

ε ja λ on ühtivad tasandid

Tasandi asendi ruumis määrab selle normaalvektor. Seega saab kahe tasandi vastastikuse asendi üle otsustada nende normaalvektorite järgi.

Seotud sisu

Ühtimine ja paralleelsus

Kui kaks tasandit on paralleelsed, siis nende normaalvektorid on samasihilised ehk kollineaarsed.
Ühtivate tasandite normaalvektorid on samuti kollineaarsed. Lisaks sellele rahuldavad tasandite võrrandeid ühed ja samad punktid.

Ühtivad tasandid

Paralleelsed tasandid

Selgitused

Olgu kahe tasandi võrrandid

α: a₁x + b₁y + c₁z + d₁ = 0 ja

β: a₂x + b₂y + c₂z + d₂ = 0.

Normaalvektorite kollineaarsusest järeldub, et nende vastavad koordinaadid on võrdelised, st

$\frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{b_{1}}{b_{2}} = \frac{c_{1}}{c_{2}} = k .$

Olgu punkt P(x₀; y₀; z₀) tasandite ühine punkt, siis

α: a₁x₀ + b₁y₀ + c₁z₀+ d₁ = 0 ja

β: a₂x₀ + b₂y₀ + c₂z₀ + d₂ = 0.

Korrutame teise võrrandi võrdeteguriga k, saame

β: ka₂x₀ +kb₂y₀ + kc₂z₀ + kd₂ = 0. Võrdlus tasandi esimese võrrandiga näitab, et ka vabaliikmed on võrdelised sama võrdeteguriga k.

Kaks tasandit on ühtivad parajasti siis, kui nende võrrandite kõik vastavad kordajad ja ka vabaliikmed on võrdelised.

$\frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{b_{1}}{b_{2}} = \frac{c_{1}}{c_{2}} = \frac{d_{1}}{d_{2}} = k$

Märka

Kaks tasandit on ühtivad ka siis, kui nende normaalvektorid on kollineaarsed ja leidub punkt, mis rahuldab mõlema tasandi võrrandit.

α: 2x – y + z – 3 = 0 ja β: 6x – 3y + 3z + 4 = 0
1. Kontrollime, kas normaalvektorid on kollineaarsed.
  $\frac{2}{6} = \frac{- 1}{- 3} = \frac{1}{3}$ , kollineaarsed, seega tagatud on
2. Kontrollime vabaliikmeid $\frac{- 3}{4} \neq \frac{1}{3} .$ Määratud on

α: 2x – y + z – 3 = 0 ja γ: 6x – 3y + 3z – 9 = 0
1. Tasand γ erineb tasandist β vabaliikme poolest.

Vastus

Tasandid α ja β on paralleelsed.
Tasandid α ja γ on

4x + 8y + 12z – 5 = 0
3x – 2y – z + 12 = 0
21x + 14y + 7x = 0
6x + 12y + 18z – 7,5 = 0
1,5x – y – 0,5z – 6 = 0
–2x – 4y – 6z + 2,5 = 0

Seotud sisu

Lõikumine

Kaks tasandit on lõikuvad parajasti siis, kui nende normaalvektorid on mittekollineaarsed.

$\vec{n_{1}} ∦ \vec{n_{2}}$

Märka

Ristumine on lõikumise erijuht. Kui tasandid ristuvad, siis ristuvad ka nende normaalvektorid. Ristuvate vektorite skalaarkorrutis on 0.

$\vec{n_{1}} ∦ \vec{n_{2}}$ ja $\vec{n_{1}} \cdot \vec{n_{2}} = 0$

α: 2x + 3y – z + 1 = 0 β: 2x – 3y + 1 = 0	paralleelsed ühtivad lõikuvad ristuvad

α: 2x + 3y – z + 1 = 0 β: 3x – 2y + 1 = 0	paralleelsed ühtivad lõikuvad ristuvad

α: 2x + 3y – z + 1 = 0 β: 4x + 6y + 2z + 1 = 0	paralleelsed ühtivad lõikuvad ristuvad

α: 2x + 3y – z + 1 = 0 β: –6x – 9y + 3z – 3 = 0	paralleelsed ühtivad lõikuvad ristuvad

Seotud sisu

Harjuta ja treeni

Märka

Ristuvad tasandid. Ristumine on lõikumise erijuht

α: $m x + \frac{y}{m} + 2 z - 5 = 0$ ja
β: x + my + (m + 1)z + 1 = 0

Ristumine
Normaalvektorite on 0.
See avaldis taandub võrrandiks
= 0,
seega m = .
Paralleelsus

m = 1
m = –1
m = 0
paralleelsust ei saa tekkida

Paralleelsete tasandite normaalvektorid on .
Seega sobivad otsitava võrrandiga tasandi normaalvektoriks

(1; 3; 4),
(4; –3; 1),
(–4; 3; –1),
(–3; 4; 1).

Vastus

= 0

Kui tasand on risti sirgega AB, siis $\vec{A B}$ on selle tasandi .
Seega sobivad tasandi normaalvektoriks vektorid

(1; 0; 0),
(2; 1; 1),
(4; 1; –3),
(–2; –1; –1).

Vastus

= 0

Seotud sisu

Tasandite asendid

Tasandite normaalvektorid on $\vec{n} = (a_{1}; b_{1}; c_{1})$ ja

$\vec{m} = (a_{2}; b_{2}; c_{2}) .$

$\frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{b_{1}}{b_{2}} = \frac{c_{1}}{c_{2}} = k$ tasandid.
$\frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{b_{1}}{b_{2}} = \frac{c_{1}}{c_{2}} = \frac{d_{1}}{d_{2}} = k$ tasandid.
$\frac{a_{1}}{a_{2}} \neq \frac{b_{1}}{b_{2}} \neq \frac{c_{1}}{c_{2}} \neq \frac{d_{1}}{d_{2}}$ tasandid.
$\frac{a_{1}}{a_{2}} \neq \frac{b_{1}}{b_{2}} = \frac{c_{1}}{c_{2}}$ tasandid.
$\frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{b_{1}}{b_{2}} \neq \frac{c_{1}}{c_{2}}$ tasandid.

Seotud sisu

Teenust osutab Star Cloud OÜ

Liitu Opiquga

Opiqus edenemine

	Tööd
	Peatükk on läbi töötatud

Kahe tasandi vastastikune asend

Seotud sisu

Asend

Seotud sisu

Ühtimine ja paralleelsus

Selgitused

Märka

Vastus

Seotud sisu

Lõikumine

Märka

Seotud sisu

Harjuta ja treeni

Märka

Vastus

Vastus

Seotud sisu

Tasandite asendid

Seotud sisu

Lisa materjali

Lisatavad failid

Teata veast

Teata siia ainult Opiqu veast. Palun kirjelda viga nii täpselt kui võimalik.

Kui ootad Opiqu meeskonnalt vastust, lisa oma kontaktandmed (e-post, telefon).

Tee linnuke, et aidata meil spämmiga võidelda

Opiq kasutab küpsiseid