Kahe sirge vastastikune asend

Asendit kirjeldavad mõisted
Kiivsirged
Paralleelsed ja ühtivad sirged
Lõikuvad ja ristuvad sirged
Vektorite komplanaarsuse tunnuse rakendamine
Sirgete vastastikuse asendi määramise taktika

Võimalikud asendid

Kui kaks sirget asuvad samal tasandil, siis on need kas paralleelsed või lõikuvad. Ruumis on aga veel üks võimalus. Kaks mitteparalleelset sirget ruumis võivad asuda mitte samal tasandil, vaid kahel erineval tasandil. Sellised sirged pole paralleelsed, kuid ei lõiku.

Sirgeid, mis ei asu samal tasandil, pole paralleelsed ega lõiku, nimetatakse kiivsirgeteks.

Kiivsirged asuvad erinevatel tasanditel

Paralleelsed sirged on alati samal tasandil ehk määravad tasandi

Lõikuvad sirged on alati samal tasandil ehk määravad tasandi

Märka

Sirged s ja t on samal tasandil ja paralleelsed.

Sirged u ja v on samal tasandil ja lõikuvad.

Sirged p ja q ei ole samal tasandil, seega ei saa need lõikuda.

Seotud sisu

Kiivsirged

Sirgete vastastikuse asendi saame määrata kolme vektori kaudu, millest kaks on sirgete sihivektorid ja kolmas on vektor, mis ühendab ühe sirge punkti punktiga teisel sirgel.

s: $\frac{x - x_{1}}{a_{1}} = \frac{y - y_{1}}{a_{2}} = \frac{z - z_{1}}{a_{3}}$

$\vec{a}$ = (a₁; a₂; a₃)

A(x₁; y₁; z₁)

t: $\frac{x - x_{2}}{b_{1}} = \frac{y - y_{2}}{b_{2}} = \frac{z - z_{2}}{b_{3}}$

$\vec{b}$ = (b₁; b₂; b₃)

B(x₂; y₂; z₂)

Kui on antud kahe sirge s ja t võrrandid, siis on teada neil sirgetel asuvad punktid A ja B ning nende sirgete sihivektorid $\vec{a}$ ja $\vec{b}$ .

Leiame vektori $\vec{c} =$ (x₂–x₁; y₂–y₁; z₂–z₁).

Selleks et sirged oleksid samal tasandil, peavad need kolm vektorit olema komplanaarsed. Kui need vektorid pole komplanaarsed, $|\begin{matrix} \vec{a} \\ \vec{b} \\ \vec{A B} \end{matrix}| \neq 0,$ on tegemist kiivsirgetega.

Näide 1

s: $\frac{x + 3}{3} = \frac{y - 2}{- 1} = \frac{z}{- 2}$

t: $\frac{x - 1}{- 5} = \frac{y}{3} = \frac{z - 2}{2}$

On näha, et sihivektorid ei ole kollineaarsed, uurime vektorite komplanaarsust.

$\vec{c} =$
(1 –(–3); 0 – 2; 2 – 0) = (4; –2; 2)

$|\begin{matrix} 3 & - 1 & - 2 \\ - 5 & 3 & 2 \\ 4 & - 2 & 2 \end{matrix}| \neq 0,$ sest

18 – 8 –20 + 24 +12 – 10 = 16.

Seega on need sirged kiivsirged.

on
ei ole

$\frac{x - 3}{2} = \frac{y + 1}{1} = \frac{z - 1}{- 4}$ ja $\frac{x - 6}{- 2} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z - 4}{1}$
kiivsirged.
$\frac{x - 3}{4} = \frac{y + 1}{- 4} = \frac{z - 1}{- 2}$ ja $\frac{x - 6}{- 2} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z - 4}{1}$
kiivsirged
$\frac{x + 1}{5} = \frac{y + 4}{2} = \frac{z + 1}{- 1}$ ja $\frac{x - 6}{- 2} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z - 4}{1}$
kiivsirged.
$\frac{x - 6}{2} = \frac{y + 3}{2} = \frac{z - 3}{1}$ ja $\frac{x - 6}{- 2} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z - 4}{1}$
kiivsirged.

Seotud sisu

Lõikuvad sirged

Lõikuvad sirged on samal tasandil. Selleks et sirged oleksid samal tasandil, peavad vektorid $\vec{a}$ , $\vec{b}$ ja $\vec{A B} = \vec{c}$ olema komplanaarsed ja sihivektorid peavad olema mittekollineaarsed.

Seega $|\begin{matrix} \vec{a} \\ \vec{b} \\ \vec{A B} \end{matrix}| = 0$ ja $\vec{a} ∦ \vec{b} .$

s: $\frac{x - x_{1}}{a_{1}} = \frac{y - y_{1}}{a_{2}} = \frac{z - z_{1}}{a_{3}}$

$\vec{a}$ = (a₁; a₂; a₃)

A(x₁; y₁; z₁)

t: $\frac{x - x_{2}}{b_{1}} = \frac{y - y_{2}}{b_{2}} = \frac{z - z_{2}}{b_{3}}$

$\vec{b}$ = (b₁; b₂; b₃)

B(x₂; y₂; z₂)

Vektorite asetus lõikuvate sirgete korral

Näide 2

s: $\frac{x}{2} = \frac{y + 2}{- 5} = \frac{z + 1}{3}$

t: $\frac{x + 2}{- 4} = \frac{y + 3}{6} = \frac{z - 5}{0}$

On näha, et sihivektorid ei ole kollineaarsed, uurime vektorite komplanaarsust.

$\vec{c} =$ (–2 – 0); –3 – (–2); 5 –(–1)) =

= (–2; –1; 6)

$|\begin{matrix} - 2 & - 1 & 6 \\ - 4 & 6 & 0 \\ 2 & - 5 & 3 \end{matrix}| = 0,$ sest

72 + 0 + 12 + 36 – 0 –120 = 0

Seega on need sirged lõikuvad.

on
ei ole

$\frac{x - 4}{2} = \frac{y + 5}{1} = \frac{z - 1}{- 4}$ ja $\frac{x - 6}{- 2} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z - 4}{1}$
lõikuvad.
$\frac{x - 3}{4} = \frac{y + 1}{- 4} = \frac{z - 1}{- 2}$ ja $\frac{x - 6}{- 2} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z - 4}{1}$
lõikuvad.
$\frac{x + 1}{5} = \frac{y + 4}{2} = \frac{z + 1}{- 1}$ ja $\frac{x - 6}{- 2} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z - 4}{1}$
lõikuvad.
$\frac{x - 6}{2} = \frac{y + 3}{2} = \frac{z - 3}{1}$ ja $\frac{x - 6}{- 2} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z - 4}{1}$
lõikuvad.

Seotud sisu

Paralleelsed sirged

Paralleelsed sirged on samal tasandil. Selleks et sirged oleks paralleelsed, peavad vektorid $\vec{a}$ ja $\vec{b}$ olema kollineaarsed ning $\vec{A B} = \vec{c}$ peab olema nendega mittekollineaarne.

Seega $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ning $\vec{a} ∦ \vec{c}$ , $\vec{b} ∦ \vec{c} .$

Märka

Komplanaarsuse kontrollimine pole vajalik, sest samasihiliste sirgete sihivektorid on alati kollineaarsed ning need sirged on alati samal tasandil.

s: $\frac{x - x_{1}}{a_{1}} = \frac{y - y_{1}}{a_{2}} = \frac{z - z_{1}}{a_{3}}$

$\vec{a}$ = (a₁; a₂; a₃)

A(x₁; y₁; z₁)

t: $\frac{x - x_{2}}{b_{1}} = \frac{y - y_{2}}{b_{2}} = \frac{z - z_{2}}{b_{3}}$

$\vec{b}$ = (b₁; b₂; b₃)

B(x₂; y₂; z₂)

Näide 3

s: $\frac{x - 2}{5} = \frac{y + 1}{- 3} = \frac{z}{1}$

t: $\frac{x - 2}{10} = \frac{y - 1}{- 6} = \frac{z + 1}{2}$

$\vec{c} =$ (2 – 2; 1 – (–1); –1 – 0) =

= (0; 2; –1)

$\frac{10}{5} = \frac{- 6}{- 3} = \frac{2}{1} = 2,$ seega sihivektorid on kollineaarsed.
$\frac{0}{10} \neq \frac{2}{- 6} \neq \frac{- 1}{2},$ seega erinevate sirgete punkte ühendav vektor $\vec{c}$ ei ole kollineaarne ühe sirge sihivektoriga.

Kui $\vec{c}$ ei ole kollineaarne ühe sirge sihivektoriga, siis ei ole ta ka kollineaarne sellega paralleelse sirge sihivektoriga.

Seega need sirged on paralleelsed.

on
ei ole

$\frac{x - 4}{2} = \frac{y + 5}{1} = \frac{z - 1}{- 4}$ ja $\frac{x - 6}{- 2} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z - 4}{1}$
paralleelsed.
$\frac{x - 3}{4} = \frac{y + 1}{- 4} = \frac{z - 1}{- 2}$ ja $\frac{x - 6}{- 2} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z - 4}{1}$
paralleelsed.
$\frac{x - 8}{6} = \frac{y + 3}{- 6} = \frac{z - 3}{- 3}$ ja $\frac{x - 6}{- 2} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z - 4}{1}$
paralleelsed.
$\frac{x - 6}{- 2} = \frac{y + 3}{2} = \frac{z - 3}{1}$ ja $\frac{x - 6}{- 2} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z - 4}{1}$
paralleelsed.

Seotud sisu

Ühtivad sirged

Ühtivad sirged on samal tasandil. Selleks et sirged ühtiksid, peavad vektorid $\vec{a}$ ja $\vec{b}$ olema kollineaarsed ning $\vec{A B} = \vec{c}$ peab olema nendega kollineaarne.

Seega $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ning $\vec{a} ∥ \vec{c}$ , $\vec{b} ∥ \vec{c} .$

s: $\frac{x - x_{1}}{a_{1}} = \frac{y - y_{1}}{a_{2}} = \frac{z - z_{1}}{a_{3}}$

$\vec{a}$ = (a₁; a₂; a₃)

A(x₁; y₁; z₁)

t: $\frac{x - x_{2}}{b_{1}} = \frac{y - y_{2}}{b_{2}} = \frac{z - z_{2}}{b_{3}}$

$\vec{b}$ = (b₁; b₂; b₃)

B(x₂; y₂; z₂)

Märka

Esimesena vaata sihivektorite kollineaarsust, st kas ühe sihivektori koordinaadid on teise kordsed.
Seejärel kontrolli, kas sirged ühtivad.
Kui $\vec{A B} = \vec{c}$ koordinaadid ei osutunud sihivektorite koordinaatide kordseteks, siis kontrolli komplanaarsust.

Näide 4

Näitame, et ühegi k korral antud sirged ei ühti.

s: $\frac{x}{- 4 - k} = \frac{y + 4}{2 k} = \frac{z - 1}{- 3}$ ja t: $\frac{x - 2}{3} = \frac{y + 1}{- 4} = \frac{z - k}{0,75}$

Lahendus

Esimesena kontrollime sihivektorite kollineaarsust. Kehtima peab $\frac{- 4 - k}{3} = \frac{2 k}{- 4} = \frac{- 3}{0,75} .$
Seega viimasest võrdusest –3 : 0,75 = –4
ning $\frac{- 4 - k}{3} = - 4$ ja $\frac{2 k}{- 4} = - 4 .$
Mõlemas võrduses k = 8, seega paralleelsus tekib k = 8 korral.
Ühtimine on paralleelsuse erijuht, seega vaatame võrrandeid
s: $\frac{x}{- 12} = \frac{y + 4}{16} = \frac{z - 1}{- 3}$ ja
t: $\frac{x - 2}{3} = \frac{y + 1}{- 4} = \frac{z - 8}{0,75}$
$\vec{c}$ = (0 – 2; –4 – (–1); 1 – 8)) = (–2; –3; 9)
ei ole kollineaarne sirgete sihivektoritega ja ühtimist ei teki.

Vastus

Kuigi sirged on paralleelsed k = 8 korral, ei taga see k väärtus sirgete ühtimist.

s: $\frac{x + 1}{k} = \frac{y + 11}{k + 1} = \frac{z + 14}{k + 2}$

t: $\frac{x - 4}{1} = \frac{y + k}{2} = \frac{z - 1}{3}$

Sihivektorid on kollineaarsed
k = korral.

Kolmas vektor $\vec{c},$ mis ühendab sirge võrranditest võetud punkte, kollineaarne sihivektoritega, sest

$\vec{c}$ = (; ; ).

Vastus

Sirgete ühtimine

Seotud sisu

Harjuta ja treeni

Märka

Esimesena vaata sihivektorite kollineaarsust ehk kas ühe sihivektori koordinaadid on teise kordsed.

Kui JAH, siis

moodusta kolmas vektor ja kontrolli, kas see on kollineaarne sihivektoritega:

kui EI, siis sirged on PARALLEELSED
kui JAH, siis sirged on ÜHTIVAD

Kui EI, siis

moodusta kolmas vektor ja kontrolli, kas kolm vektorit on komplanaarsed:

kui EI, siis sirged on KIIVSIRGED
kui JAH, siis LÕIKUVAD

kiiv
lõikuvad
paralleelsed
ühtivad

$\frac{x - 7}{3} = \frac{y - 1}{4} = \frac{z - 3}{2}$ ja $\frac{x - 2}{6} = \frac{y + 1}{8} = \frac{z}{4}$
on sirged.
$\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 7}{1} = \frac{z - 5}{4}$ ja $\{\begin{array}{l} x = - 3 t \\ y = 2 t \\ z = - t \end{array}$
on sirged
$\{\begin{array}{l} x = 1 + 2 t \\ y = 7 + t \\ z = 5 + 4 t \end{array}$ ja $\frac{x + 3}{2} = \frac{y - 5}{1} = \frac{z + 3}{4}$
on sirged
$\frac{x - 5}{3} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z - 4}{1}$ ja $\{\begin{array}{l} x = 4 + t \\ y = - 2 + 3 t \\ z = 2 + 2 t \end{array}$
on sirged
$\frac{x - 1}{- 1} = \frac{y - 4}{1} = \frac{z}{1}$ ja $\frac{x + 1}{- 3} = \frac{y - 4}{1} = \frac{z + 2}{- 1}$
on sirged

s: $\frac{x + 1}{1} = \frac{y + 1}{- 4} = \frac{z + 1}{2}$

t: $\frac{x + 4}{a + 2} = \frac{y - 3}{- 9, 5 - a} = \frac{z + 2}{5}$

Vastus

Kui a = , siis $\vec{s} ∥ \vec{t} .$

s: $\frac{x - 3}{3} = \frac{y}{0} = \frac{z - a}{- 2}$

t: $\frac{x - 4}{1} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z}{2}$

Vastus

Kui a = , siis sirged lõikuvad.

s: $\frac{x - 1}{2} = \frac{y + 1}{3} = \frac{z - 5}{a}$

t: $\frac{x - a}{4} = \frac{y + 1}{6} = \frac{z - 6}{- 2}$

Vastus

Kui a = , siis sirged ühtivad.

Sirge s läbib punkte A(0; 0; 0) ja B(12; 8; 4). $\vec{A B} = \vec{s} = \vec{i} + \vec{j} + \vec{k}$
s: $\{\begin{array}{l} x = \\ y = \\ z = \end{array}$
Sirge t läbib punkte K(–1; 3; 11) ja L(3; 2; 1).
$\vec{K L} = \vec{t} = \vec{i} + \vec{j} + \vec{k}$
t: $\{\begin{array}{l} x = \\ y = \\ z = \end{array}$

Märkmed

Vastus

Sirgete s ja t paiknevus ning vastastikune asend.

samal tasandil
paralleelsed
erinevatel tasanditel
lõikuvad
koordinaattasandil
ühtivad
kiivsirged
ristuvad

Seotud sisu

Ole tähelepanelik

Sirge a punktiga A ja sihivektoriga $\vec{a} .$

Sirge b punktiga B ja sihivektoriga $\vec{b} .$

Kui $\vec{a} ∦ \vec{b}$ ja $|\begin{matrix} \vec{a} \\ \vec{b} \\ \vec{A B} \end{matrix}| = 0,$ siis sirged on
Kui $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ja $|\begin{matrix} \vec{a} \\ \vec{b} \\ \vec{A B} \end{matrix}| = 0$ ning A ∈ b ja B ∈ a, siis sirged on
Kui $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ja $|\begin{matrix} \vec{a} \\ \vec{b} \\ \vec{A B} \end{matrix}| = 0,$ siis sirged on
Kui $\vec{a} ∦ \vec{b}$ ja $|\begin{matrix} \vec{a} \\ \vec{b} \\ \vec{A B} \end{matrix}| \neq 0,$ siis sirged on

Seotud sisu

Teenust osutab Star Cloud OÜ

Liitu Opiquga

Opiqus edenemine

	Tööd
	Peatükk on läbi töötatud

Kahe sirge vastastikune asend

Seotud sisu

Võimalikud asendid

Märka

Seotud sisu

Kiivsirged

Näide 1

Seotud sisu

Lõikuvad sirged

Näide 2

Seotud sisu

Paralleelsed sirged

Märka

Näide 3

Seotud sisu

Ühtivad sirged

Märka

Näide 4

Lahendus

Vastus

Vastus

Seotud sisu

Harjuta ja treeni

Märka

Vastus

Vastus

Vastus

Märkmed

Vastus

Seotud sisu

Ole tähelepanelik

Seotud sisu

Lisa materjali

Lisatavad failid

Teata veast

Teata siia ainult Opiqu veast. Palun kirjelda viga nii täpselt kui võimalik.

Kui ootad Opiqu meeskonnalt vastust, lisa oma kontaktandmed (e-post, telefon).

Tee linnuke, et aidata meil spämmiga võidelda

Opiq kasutab küpsiseid