Ruutvõrrandi diskriminant

Me oleme juba täheldanud, et ruutvõrrandil võib olla kaks erinevat lahendit, üksainus lahend (ehk kaks ühtivat lahendit), kuid ruutvõrrandil võib ka lahend puududa. Millest see sõltub?

Ruutvõrrandi lahendite arv sõltub lahendivalemis

$x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$

oleva ruutjuuremärgi aluse avaldise b² –4ac märgist. Seda avaldist nimetatakse ruutvõrrandi diskriminandiks ja tähistatakse tähega D:

D = b² –4ac.

discriminans (ladina k) –
eraldav, vahet tegev

Kui D > 0 ehk diskriminant on positiivne arv, siis on valemis olevat ruutjuurt võimalik arvutada. Kuna D on nullist erinev, saame me ruutvõrrandile kaks erinevat lahendit.

Kui D = 0, siis on ruutvõrrandil kaks võrdset lahendit:

$x_{1} = \frac{- b - \sqrt{0}}{2 a}$ ja $x_{2} = \frac{- b + \sqrt{0}}{2 a}$ , seega $x_{1} = x_{2} = - \frac{b}{2 a}$ , sest $\sqrt{0} = 0$ .

Kui D < 0 ehk diskriminant on negatiivne arv, siis ruutvõrrandil puuduvad lahendid reaalarvude hulgas.

Sama kehtib ka taandatud ruutvõrrandi diskriminandi kohta.

Märkus. Lahendite puudumine reaalarvude hulgas ei tähenda seda, et negatiivse diskriminandiga ruutvõrrandil üldse puuduvad lahendid. Lahendid on ikka olemas, kuid need kuuluvad laiemasse arvuhulka – kompleksarvude hulka, mida meie ei ole õppinud.

Kui on vaja otsustada ruutvõrrandi lahendite arvu üle, siis ei pea seda võrrandit lahendama, piisab diskriminandi arvutamisest. Näiteks võib võrrandi 2x² – 5x + 10203040 = 0 korral kergesti näha, et diskriminant on negatiivne ja järelikult võrrandil lahendid puuduvad.

Seotud sisu

Ülesanded A

2x² + 5x – 3 = 0
D = $^{2} - 4 \cdot \cdot$ =

–3x² – 4x – 5 = 0
D = $^{2} - 4 \cdot \cdot$ =

2x² + 2x + a = 0
D = $^{2} - 4 \cdot \cdot$ =

u² – 2u + 10 = 0
4n² – 4n + 1 = 0
5x² – 4x + 7 = 0
6x² + 7x – 3 = 0
t² + 18t + 1 = 0
x² – 4x + 4 = 0

x² – 2x + m = 0