Vaatleme järgnevalt seost, mis on esitatud valemiga y = a(x + m)2.
Ka see on ruutfunktsioon, kuna funktsiooni väärtuse leidmisel tuleb ka siin pärast sulgude avamist tõsta argument ruutu. Pärast sulgude avamist saame sellele funktsioonile anda kuju y = ax2 + 2amx + am2. Tee seda!
Et tähed a ja m tähistavad konkreetseid arve, siis võime teha järgmised asendused 2am = b ja am2 = c. Pärast selliseid asendusi saame, et y = ax2 + bx + c. Seega on vaadeldav funktsioon teataval erikujul olev kõige üldisem ruutfunktsioon y = ax2 + bx + c.
Teeme nüüd kindlaks, kuidas saada selle funktsiooni graafikut funktsiooni y = ax2 graafiku abil. Vaatleme selleks funktsioone y = 3x2 ja y = 3(x – 2)2. Koostame kõigepealt nende funktsioonide muutujate x ja y vastavate väärtuste tabeli.
Tabelist selgub, et ruutfunktsioonil y = 3(x – 2)2 on samad väärtused, mis ruutfunktsioonil y = 3x2. Need võrdsed väärtused ei vasta aga samadele argumendi väärtustele, vaid on teatavas „nihkes“. Ruutfunktsioon y = 3(x – 2)2 omab väärtust 0 näiteks argumendi väärtuse 2 korral, ruutfunktsioon y = 3x2 aga kahe võrra väiksema argumendi väärtuse 0 korral. Sama kehtib ka funktsiooni kõikide teiste väärtuste korral. Kontrolli seda mõnede teiste funktsiooni väärtuste korral!
Öeldu tähendab seda, et nende funktsioonide graafikud on ühesuguse kujuga, kuid paiknevad teineteise suhtes nihkes. Kandes leitud punktid koordinaatteljestikku näeme, et funktsiooni y = 3(x – 2)2 graafiku saame funktsiooni y = 3x2 graafikust selle nihutamisel kahe ühiku võrra paremale. Sama moodi arutledes saaksime, et ruutfunktsiooni y = 3(x + 2)2 graafiku saamiseks tuleb funktsiooni y = 3x2 graafikut nihutada kaks ühikut vasakule.
Üldiselt:
ruutfunktsiooni y = a(x + m)2 graafiku saame ruutfunktsiooni y = ax2 graafikust viimase nihutamisel |m| ühikut vasakule, kui m > 0, või paremale, kui m < 0.
Sellise nihutamise tulemusena nihkub ka parabooli haripunkt ja sümmeetriatelg.
Saame, et
parabooli y = a(x + m)2 haripunktiks on punkt H(–m; 0) ja sümmeetriatelg on sellest punktist x-teljele joonestatud ristsirge.
Ülesanded A
250. Ruutfunktsioon y = a(x + m)2 ja selle graafik
Joonesta funktsiooni y = 2x2 graafik ja seda kasutades järgmiste funktsioonide graafikud.
- y = 2(x + 1)2
- y = 2(x – 2)2
- y = –2x2
- y = –2(x + 3)2
- y = 2(x – 1)2
- Kuhu avanevad nende ruutfunktsioonide graafikud?
Vastus. Nende ruutfunktsioonide graafikud avanevad . - Kuidas nihutada parabooli y = 3x2, et saada paraboolid y = 3(x + 2)2 ja y = 3(x – 2)2?
Vastus. Parabooli y = 3x2 tuleb parabooli y = 3(x + 2)2 saamiseks tuleb nihutada ühikut ja parabooli y = 3(x – 2)2 saamiseks ühikut . - Kuidas nihutada parabooli y = 3(x + 2)2, et saada parabool y = 3(x – 2)2?
Vastus. Parabooli y = 3(x + 2)2 tuleb nihutada ühikut . - Mille poolest erinevad paraboolide y = 3(x + 2)2 ja y = 3(x – 2)2 haripunktide koordinaadid?
Vastus. Nende paraboolide haripunktide koordinaadid erinevad . - Kuidas asetsevad paraboolide y = 3(x + 2)2 ja y = 3(x – 2)2 haripunktid parabooli y = 3x2 haripunkti suhtes?
Vastus. Need asetsevad . - Kuidas paiknevad üksteise suhtes nende paraboolide teljed?
Vastus. Nende paraboolide teljed on .
haripunkt satub punkti | Nii saadakse ruutfunktsiooni |
(–2; 0)? | y = |
(5; 0)? | y = |
(m; 0)? | y = |
Kirjelda, millisel teel on saadud paraboolist I ülejäänud paraboolid.
Leia iga parabooli haripunkti koordinaadid ja kirjelda, kuidas paiknevad nende paraboolide sümmeetriateljed.
Vastus. I parabooli haripunkti koordinaadid on , II paraboolil , III paraboolil ja IV paraboolil . Nende paraboolide sümmeetriateljed on .
- Leia I ja II ruutfunktsiooni valem, kasutades sobivalt valitud punkte graafikutel.
Vastus. I ruutfunktsiooni valem on y =, II ruutfunktsiooni valem on y = . - Leia ülejäänud ruutfunktsioonide valemid, toetudes eelmises punktis leitud valemitele.
Vastus. III ruutfunktsiooni valem on y =, IV ruutfunktsiooni valem on y = , V ruutfunktsiooni valem on y = , VI ruutfunktsiooni valem on y = .
Ülesanded B
- Leia jooniselt ruutfunktsiooni y = 2(x + 2)2 väärtused, kui x on –2; –1; 0.
Vastus. y on vastavalt ; ; . - Millistel argumendi väärtustel omab ruutfunktsioon y = 2x2 eelmises alapunktis leitud väärtused?
Vastus. Esimest leitud väärtust omab ruutfunktsioon y = 2x2 siis, kui x = ; teist leitud väärtust siis, kui x = või x = ; kolmandat leitud väärtust siis, kui x = või x = . - Millisel argumendi väärtusel omavad need funktsioonid võrdset väärtust? Mis toimub nende funktsioonide graafikutega selle argumendi väärtuse korral?
Vastus. Need funktsioonid omavad võrdset väärtust siis, kui x = . Nende funktsioonide graafikud selle argumendi väärtuse korral .
Vihje
257. Ruutfunktsioon y = a(x + m)2 ja selle graafik
Joonesta ruutfunktsiooni y = 3x2 – 6x + 3 graafik, kasutades funktsiooni y = 3x2 graafikut.
258. Ruutfunktsioon y = a(x + m)2 ja selle graafik
Joonesta ruutfunktsiooni y = 2x2 – 12x + 18 graafik.
