y = a(x + m)2 graafik;
y = ax2 + n graafik.
Kus asuvad saadud paraboolide haripunktid ja millised sirged on nende paraboolide telgedeks?
Uurime järgnevas, kuidas saada funktsiooni y = ax2 graafikust funktsiooni y = a(x + m)2 + n graafik. See funktsioon on samuti ruutfunktsioon, kuna ka siin tuleb funktsiooni väärtuse leidmiseks argument tõsta ruutu. Pärast sulgude avamist saame sellele funktsioonile anda kuju y = ax2 + 2amx + am2 + n. Tee seda!
Et tähed a, m ja n tähistavad konkreetseid arve, siis võime teha järgmised asendused 2am = b ja am2 + n = c. Pärast selliseid asendusi saame, et y = ax2 + bx + c. Seega on vaadeldav funktsiooni teataval erikujul olev kõige üldisem ruutfunktsioon y = ax2 + bx + c.
Vaatleme selle funktsiooni graafiku joonestamist konkreetse näite najal.
Näide 1
Joonestame ruutfunktsiooni y = 3(x – 2)2 – 3 graafiku. Funktsiooni valemist näeme, et alustada tuleb ruutfunktsiooni y = 3x2 graafiku joonestamisest. Seejärel tuleb saadud graafikut nihutada piki x-telge 2 ühikut paremale (m = –2, vaata joonist). Nii oleme joonestanud ruutfunktsiooni y = 3(x – 2)2 graafiku. Et saada sellest ruutfunktsiooni y = 3(x – 2)2 – 3 graafikut, tuleb seda nihutada veel y-teljega paralleelselt 3 ühikut allapoole (n = –3).
Näitest selgub kokkuvõtvalt, et
ruutfunktsiooni y = a(x + m)2 + n graafiku saame ruutfunktsiooni y = ax2 graafikust kahe nihutamise abil.
- Nihutame funktsiooni y = ax2 graafikut piki x-telge |m| ühikut paremale, kui m < 0, või vasakule, kui m > 0. Nii saame funktsiooni y =a(x + m)2 graafiku.
- Nihutame saadud graafikut y-teljega paralleelselt |n| ühikut üles, kui n > 0, või alla, kui n < 0. Nii saame funktsiooni y = a(x + m)2 + n graafiku.
Sellistel nihutamistel muutub nii parabooli telg kui ka haripunkt.
Saame, et
ruutfunktsiooni y = a(x + m)2 + n graafik on parabool, mille telg on paralleelne y-teljega ja mille haripunkt on punktis H(–m; n).
Eelmises peatükis kasutasime ruutfunktsiooni graafiku visandamisel graafiku haripunkti koordinaate, nullkohti ja ruutliikme kordaja a märki. Kui ruutfunktsiooni graafik lõikab y-telge, siis on graafiku visandamisel otstarbekas lisaks eelnevale kasutada ka seda lõikepunkti. Lõikepunkti koordinaatide leidmiseks kasutame tõsiasja, et kohal, kus graafik lõikab y-telge, on argumendi väärtus 0. Seega lõikepunkti ordinaadi leidmiseks tuleb leida ruutfunktsiooni väärtus x = 0 korral.
Näide 2
Leiame ruutfunktsiooni y = 2(x – 3)2 – 8 nullkohad, graafiku haripunkti koordinaadid ja lõikepunkti y-teljega.
Nullkohtade leidmiseks lahendame võrrandi 2(x – 3)2 – 8 = 0 (püüa lahendada kasutamata lahendivalemit) ja saame, et x1 = 1 ning x2 = 5.
Haripunkti koordinaadid leiame otse ruutfunktsiooni valemist. Kuna m = –3 ja n = –8, siis asub haripunkt punktis H(3; –8).
Graafiku ja y-telje lõikepunki leidmiseks asendame ruutfunktsiooni valemisse x = 0 ja saame, et y = 2(0 – 3)2 – 8 = 10.
Seega otsitud lõikepunktiks on punkt L(0; 10).
Saadud andmed ja fakt, et a > 0, võimaldavad meil suhteliselt täpselt visandada soovitud graafiku.
Ülesanded A
y = 3x2 + 2 | |
y = 0,25(x + 2)2 | |
y = (x – 3)2 – 2 | |
y = 2(x2 – 6x + 9) |
y = 0,5x2 – 3 | |
y = 0,5(x + 2)2 | |
y = –0,5(x – 3)2 + 2 | |
y = 0,5(x2 + 4x + 4) |
y = 2x2 – 4
y = 2(x – 3)2
y = 2(x – 3)2 – 4
y = –2(x – 3)2 – 4
Millised kaks erinevat võimalust ruutfunktsiooni y = 2(x – 3)2 – 4 graafiku saamiseks selguvad Sinu jooniselt?
