Täis­nurkse kolm­nurga lahendamine

Näide 1

Lahendame täis­nurkse kolm­nurga, kui terav­nurk α = 27° ja hüpotenuus c = 8,40 cm. Arvutame ka pindala.

Lahendus.

Käes­oleval juhul saame leida ka puuduva nurga: β = 90° – α = 90° – 27° = 63°.

Leiame kaatetid:

1. $\sin \alpha =\frac{a}{c}$ ⇒ a = c · sin α = 8,40 · sin 27° ≈ 3,814 (cm)
2. $\cos \alpha =\frac{b}{c}$ ⇒ b = c · cos α = 8,40 · cos 27° ≈ 7,484 (cm)

Pindala $S=\frac{ab}{2}$ ≈ $\frac{\mathrm{3,814} · \mathrm{7,484}}{2}$ ≈ 14,3 (cm²).

Kontrolliks võime arvutada hüpotenuusi leitud kaatetite järgi:

c ≈ $\sqrt{{\mathrm{3,814}}^2+{\mathrm{7,484}}^2}$ ≈ $\sqrt{\mathrm{70,56}}$ ≈ 8,40 (cm), nagu peabki olema.

Vastus. a ≈ 3,81 cm, b ≈ 7,48 cm, β = 63°, S ≈ 14,3 cm².

Näide 2

Lahendame täis­nurkse kolm­nurga, kui terav­nurk α = 61° ja kaatet a = 8,7 cm. Leiame ka pindala.

Lahendus.

1. β = 90° – 61° = 29°
2. $\frac{a}{c}$$\sin \alpha =\frac{a}{c}$ ⇒ c = a : sin α = 8,7 : sin 61° ≈ 9,95 (cm)

1. $\tan \alpha =\frac{a}{b}$ ⇒ b = a : tan α = 8,7 : tan 61° ≈ 4,82 (cm)
2. S = 0,5ab ≈ 0,5 · 8,7 · 4,82 ≈ 21,0 (cm²)

Kontrolliks arvutame kaateti a pikkuse leitud hüpotenuusi c ja kaateti b järgi:

a ≈ $\sqrt{{\mathrm{9,95}}^2–{\mathrm{4,82}}^2}$ ≈ $\sqrt{\mathrm{75,77}}$ ≈ 8,70 (cm), nagu ülesande tingimustes antud.

Vastus. b ≈ 4,82 cm, c ≈ 9,95 cm, β = 29°, S ≈ 21,0 cm².

Näide 3

Leiame täis­nurkse kolm­nurga hüpotenuusi ja pindala, kui kaatetid on a = 5,4 cm ja b = 3,7 cm.

Lahendus. Kasutades Pythagorase teoreemi, saame võrdusest a² + b² = c² hüpotenuusi

c = $\sqrt{a^2+b^2}$ = $\sqrt{{\mathrm{5,4}}^2+{\mathrm{3,7}}^2}$ = $\sqrt{\mathrm{42,85}}$ ≈ 6,55 (cm).

Pindala S = 0,5ab = 0,5 · 5,4 · 3,7 ≈ 10,0 (cm²).

Vastus. c ≈ 6,55 cm, S ≈ 10,0 cm².

Näide 4

Leiame korra­pärase üheksa­nurga pindala, kui ümber­ring­joone raadius R = 25 cm.

Lahendus. Jaotame üheksa­nurga võrd­haarseteks kolm­nurkadeks, millest kaks, ABO ja BCO on kujutatud joonisel. Nende kolm­nurkade tipu­nurk α = 360° : 9 = 40°.

Joonestame üheksa­nurga apoteemi DO = r, mis poolitab ka nurga α. Et hulk­nurga pindala

S = 9 ⋅ S_ΔBCO = $9·\frac{BC · r}{2}$,

siis peame kõige­pealt leidma kolm­nurga aluse BC = a ja apoteemi r.

Täis­nurkses kolm­nurgas DOC on CO = R = 25 cm ja $\frac{\alpha }{2}=20°$.

Seega: $\sin \frac{\alpha }{2}=DC:CO$ ⇒ $\sin 20°=\frac{a}{2 · 25}$ ⇒ a = 50 ⋅ sin 20° ≈ 17,10 (cm);

$\cos \frac{\alpha }{2}=\frac{r}{R}$ ⇒ $r=R·\cos \frac{\alpha }{2}$ = 25 ⋅ cos 20° ≈ 23,49 (cm).

Nüüd S = $9·\frac{a · r}{2}$ ≈ $9·\frac{\mathrm{17,10} · \mathrm{23,49}}{2}$ ≈ 1808 (cm²).

Vastus. Pindala S ≈ 1808 cm².

Näide 5

Leiame puuduvad elemendid kolm­nurgas, mille külg c = 25 cm ning selle lähis­nurgad on α = 30° ja β = 86°.

Lahendus. Joonestame kolm­nurga ABC tipust C kõrguse h. Selle tulemusena tekivad täis­nurksed kolm­nurgad ACD ja BCD, millest vasak­poolsest saame leida esi­algse kolm­nurga kõrguse h ja kolm­nurga ACD külje AD:

$\sin \alpha =\frac{h}{c}$ ⇒ h = c ⋅ sin α = 25 ⋅ sin 30° = 25 ⋅ 0,5 = 12,5 (cm);

$\cos \alpha =\frac{AD}{c}$ ⇒ AD = c ⋅ cos α = 25 ⋅ cos 30° ≈ 21,65 (cm).

Kolm­nurgast ABC leiame, et γ = 180° – (α + β) = 180° – 116° = 64°.

Nüüd saame täis­nurksest kolm­nurgast BCD lõigud a ja DB:

$\sin \gamma =\frac{h}{a}$ ⇒ a = h : sin γ = 12,5 : sin 64° ≈ 13,9 (cm);

$\tan \gamma =\frac{h}{DB}$ ⇒ DB = h : tan γ = 12,5 : tan 64° ≈ 6,10 (cm).

Lõikude AD ja DB järgi leiame puuduva külje b ning külje b ja kõrguse h järgi pindala:

b = AD + DB ≈ 21,65 + 6,10 ≈ 27,75 (cm) ja

 $S=\frac{bh}{2}$ ≈ $\frac{\mathrm{27,75} · \mathrm{12,5}}{2}$ ≈ 173,4 (cm²).

Vastus. a ≈ 13,9 cm, b ≈ 27,8 cm, γ = 64°, S ≈ 173,4 cm².

Näide 6

Jõe laiuse määramiseks kohal MP võetakse kaldal nii­nimetatud baas MQ = 25 m, mis on risti jõe laiusega MP, ning mõõdetakse ∠MQP. Arvutame jõe laiuse (seda nimetatakse ka kaudseks mõõtmiseks), kui ∠MQP = 39°.

Lahendus. Kolm­nurga MPQ kaateti MP leiame võrdusest $\tan 39°=\frac{MP}{25}$. Siit MP = 25 · tan 39° ≈ 20,2 (m).

Vastus. Jõe laius kohal MP on 20,2 m.

Näide 7

Võrd­haarse trapetsi pikem alus a = 17 cm, haar c = 10 cm ja nurk α nende vahel on 50°. Leiame trapetsi pindala.

Lahendus. Et trapetsi pindala $S=\frac{a + b}{2}·h$, siis leiame esmalt aluse b ja kõrguse h. Selleks joonestame kõrguse h ning leiame täis­nurkse kolm­nurga ABC kaatetid:

$\sin 50°=\frac{h}{10}$, millest h = 10 · sin 50° ≈ 7,660 (cm);

$\cos 50°=\frac{CA}{10}$, millest CA = 10 · cos 50° ≈ 6,428 (cm).

Trapets on võrd­haarne, see­tõttu b = a – 2 · CA ≈ 17 – 2 · 6,428 = 4,144 (cm).

Pindala $S=\frac{a + b}{2}·h$ ≈ $\frac{17 + \mathrm{4,144}}{2}·\mathrm{7,660}$ ≈ 81,0 (cm²).

Vastus. Trapetsi pindala on 81 cm².