Püramiid

Varasemast oled juba tuttav prismaga ja selle eriliikidega, nagu risttahukas, kuup. Ruumilisi kujundeid ehk kehi on aga veel mitmeid, millega tutvume käesolevas peatükis. Seda geomeetria osa, kus uuritakse ruumilisi kujundeid, nimetatakse stereomeetriaks. Tasapinnalisi kujundeid uuritakse geomeetria osas, mida nimetatakse planimeetriaks.

Mõiste stereomeetria tuleneb kreekakeelsetest sõnadest stereos – ruumiline ja metreo – mõõdan.
Mõiste planimeetria tuleneb ladinakeelsest sõnast planum – tasand.

Vaatle fotodel Kuressaare lossi tornide katuseid ja Prantsusmaal Louvre’is olevat klaasist ehitist. Nendel ruumilistel kujunditel (kehadel) on ühine see, et kõigil on põhjaks hulknurk ning külgtahkudeks ühise tipuga kolmnurgad. Sellised kehad kannavad nimetust – püramiid.

Kuressaare linnus

Louvre’i muuseumi sissepääs asub 1989. a ehitatud klaaspüramiidis.

Püramiidiks nimetatakse hulktahukat, mida piiravad n-nurkne hulknurk ja n ühise tipuga kolmnurka.

Ühise tipuga kolmnurgad on püramiidi külgtahud, nende kolmnurkade ühised küljed – püramiidi külgservad. Külgtahkude ühist tippu nimetatakse püramiidi tipuks. Hulknurk, millel on iga kolmnurgaga üks ühine külg, on püramiidi põhitahk ehk põhi. Põhja servi nimetatakse püramiidi põhiservadeks.

Püramiidi kõrguseks nimetatakse ristlõiku (või selle pikkust) püramiidi tipust püramiidi põhjani (joonisel lõik OS).

Näide 1

Joonisel oleva püramiidi põhjaks on korrapärane kuusnurk. Leiame püramiidi kõrguse, kui kuusnurga külg on 20 cm ja püramiidi külgserv on 29 cm.

Lahendus.

Vaatleme kolmnurka AOS. Et tipu S kaugus põhjast on OS ja kaugus võetakse alati risti sellega, millest kaugust leitakse, siis nurk SOA on täisnurk.

Järelikult on ΔAOS täisnurkne ja saab kasutada Pythagorase teoreemi

AO² + OS² = AS², millest $O S = \sqrt{A S^{2} - A O^{2}}$ .

Et AS = 29 cm ja AO = AB = 20 cm, siis $O S = \sqrt{29^{2} - 20^{2}} = 21 cm$ .

Vastus. Püramiidi kõrgus on 21 cm.

Püramiide liigitatakse selle järgi, mitmenurkne hulknurk on püramiidi põhjaks.

Vastavalt sellele on olemas kolmnurksed, nelinurksed, viisnurksed jne püramiidid. Joonisel 1 on kuusnurkne püramiid, joonistel 2 ja 3 aga nelinurksed püramiidid ning joonisel 4 kolmnurkne püramiid. Kui püramiidi põhi on n-nurkne hulknurk, on püramiidil ka külgtahke n.

Joonis 1

Joonis 2

Joonis 3

Joonis 4

Teise liigituse järgi jaotatakse püramiidid korrapärasteks ja mittekorrapärasteks.

Püramiidi nimetatakse korrapäraseks, kui püramiidi põhjaks on korrapärane hulknurk ja püramiidi kõrgus tuleb põhja keskpunkti (s.t põhjaks oleva hulknurga keskpunkti). Kuigi joonistel 2 ja 3 on mõlema püramiidi põhjad korrapärased nelinurgad (ruudud), on püramiid joonisel 2 korrapärane, aga püramiid joonisel 3 mitte, sest selle kõrgus ei lange põhja keskpunkti E. Korrapärased püramiidid on ka joonistel 1 ja 4. Edaspidi vaatleme põhiliselt korrapäraseid püramiide.

Tõestame, et

korrapärase püramiidi kõik külgtahud on võrdsed kolmnurgad.

Vaatleme korrapärast püramiidi, näiteks püramiidi järgmisel joonisel.

Selgub, et ΔAOS = ΔBOS = ΔCOS = ΔDOS. Tõepoolest on see nii, sest

kolmnurgad on täisnurksed;
AO = BO = CO = DO kui põhitahu ümberringjoone raadiused;
teine kaatet OS on kolmnurkadel ühine.

Järelikult AS = BS = CS = DS. Lisades siia korrapärase hulknurga külgede võrduse AB = BC = CD = DA, saamegi, et

ΔABS = ΔBCS = ΔCDS = ΔDAS.

Tõestuse käigus selgus lisaks, et AS = BS = CS = DS; teisiti:

korrapärase püramiidi külgservad on võrdsed.

Kehtib ka vastupidine väide:

kui püramiidi põhjaks on korrapärane hulknurk ja püramiidi külgservad on võrdsed, langeb püramiidi kõrgus põhja keskpunkti,
s.t püramiid on korrapärane.

Näide 2

Korrapärase nelinurkse püramiidi külgserv AS = 75 cm ning külgserva ja põhja diagonaali vaheline nurk α = 52°. Leiame püramiidi kõrguse.

Lahendus.

Täisnurksest kolmnurgast AOS $\sin α = \frac{h}{A S}$ .

Seega kõrgus h = AS · sin α = 75 · sin 52° ≈ 59,1 (cm).

Vastus. Püramiidi kõrgus h ≈ 59,1 cm.

Korrapärase püramiidi külgtahkudeks olevad kolmnurgad on võrdsed, järelikult on võrdsed ka külgtahkude kõrgused, mida nimetatakse püramiidi apoteemiks (joonisel 1 ES, joonisel 2 DS).

Joonis 1

Joonis 2

Näide 3

Korrapärase kolmnurkse püramiidi põhiserv a = 18 cm ja püramiidi apoteem DS = 32,4 cm. Leiame püramiidi kõrguse.

Lahendus. Püramiidi põhjaks on võrdkülgne kolmnurk. Võrdkülgse kolmnurga kõrgus on aga $D B = \frac{a \sqrt{3}}{2}$ , järelikult $D B = \frac{18 \sqrt{3}}{2}$ = $9 \sqrt{3} cm$ . (Seda saab leida ka Pythagorase teoreemiga kolmnurgast ABD.)

Et võrdkülgses kolmnurgas ühtivad kõrgused ja mediaanid, siis need lõigud lõikuvad punktis O, mis jaotab põhja kõrguse DB suhtes DO : OB = 1 : 2 (mediaanide omadus). Seega $D O = \frac{1}{3} D B = 3 \sqrt{3} (cm)$ . Täisnurksest kolmnurgast DOS leiame Pythagorase teoreemi järgi püramiidi kõrguse: