Klassikaline tõenäosus

  • Sündmuste liigid
  • Sündmus ja vastandsündmus
  • Klassikalise tõenäosuse arvutamine
Seotud sisu
Muud tegevused

Õnnega mängimine

Alates varaseimatest koopainimestest kuni tänapäevaste mängijateni, kes teevad panuseid mobiilirakenduste abil, arvestab inimene tõenäosusega. See väljendub nii – kas seda tasub ette võtta või mitte?

Tõenäosusteooria arengus on õnnemängudel olnud suur roll. Esimene teadaolev tõenäosusi uuriv raamat on Gerolamo Cardano (1501–1576) „Liber de ludo aleae“ („Raamat õnnemängudest“), mis avaldati alles aastal 1663.

Tõenäosusteooria kui matemaatilise distsipliini arengu alguseks võib aga pidada Prantsuse aadliku ja õnnemänguri Chevalier de Méré püstitatud ülesannete lahendamist Blaise Pascali ja Pierre de Fermat' poolt aastal 1654.

Õnnemängu täringute varasteks eelkäijateks olid loomade kannaluud (leide on dateeritud kuni 5000 eKr). Need on peaaegu sümmeetrilised ja võisid pärast viset püsima jääda ühel neljast eri küljest.

Kesk-Aasias on mänguluudel nimed, nt hobune, kaamel, lammas, ning neid on kasutatud nii ennustades kui ka mängides​

Ilmselt oli iidses Egiptuses mäng Senet laialt levinud. Selle kohta annavad tunnistust hieroglüüfid ja joonistused mitmes hauakambris. Mängu tarvikud muutusid isegi surnute teekonna talismaniks. Mäng sõltus üllatuslikult palju õnnest, nii et inimesed uskusid, et võitja oli jumalate kaitse all.

Seneti mängulaud

Roomlased olid tõesti kirglikud täringumängijad. Täringumänge mängisid kõik, alates kõige vaesematest orjadest kuni keisriteni.

Pompei varemetest leitud täringud

Mitmes India piirkonnas on tänapäevani levinud pulgakujuliste täringutega mängud. Lõuna-Indias on see Dayakattai, mida võib tinglikult tõlkida „lähene auhinnale“, aga ka „hävita auhind“. 

Õnnemängudest jms on räägitud India eeposes „Mahābhārata“

Esimene kasiino, Ridotto, avati Veneetsias 1638. aastal, et mängida saaks kontrollitult.  Inglismaal nimetati selliseid mänge sõnaga „hazard“.

Mängudeemon (Magasin Pittoresque, 1845)
Seotud sisu
Muud tegevused

Sündmus

Viskame üks kord tavalist kuuetahulist täringut. Seda toimingut võime vaadelda kui katset, millel on mitu võimalikku tulemust. Tulemuseks on kas 1, 2, 3, 4, 5 või 6 silma esiletulek.

Sündmust, mille käigus sooritatud katse või katsete tulemus on juhuslik, nimetatakse juhuslikuks sündmuseks.

Sündmused

Täringu ühekordsel viskel võib toimuda kuus eri sündmust: 

  1. sündmus E1 1 silma esiletulek,
  2. E2 2 silma esiletulek,
  3. E3 3 silma esiletulek

​    …,

  1. E6 6 silma esiletulek.

 E1, E2, …. E6 nimetatakse elementaar­sündmusteks. 

Eeldatakse, et elementaar­sündmused on võrd­võimalikud, neid on lõplik arv ning need ei saa koos samal ajal toimuda. Siin vaadeldud täringuviske elementaar­sündmuste korral on need tingimused kõik täidetud.

Elementaar­sündmustest võib moodustada uusi sündmusi. Näiteks võib täringuviskel toimuda võivatest elementaar­sündmustest moodustada sündmuse A − täringu ühekordsel heitel esile tulev silmade arv on paarisarv. 

Nende elementaarsündmuste E2, E4 ja E6 arv on kolm. See on sündmuse A toimumiseks soodsate võimaluste arv. Tähistame seda edaspidi tähega k. Praegu k = 3. Kõikide elementaar­sündmuste võimaliku arvu tähistame tähega n. Praegu, täringut üks kord visates on n = 6.

Sündmust, mille toimumiseks ei ole ühtki soodsat võimalust, s = 0, nimetatakse võimatuks sündmuseks. Kui kõik võimalikud elementaar­sündmused on soodsad, n = k, siis nimetatakse sündmust kindlaks sündmuseks.

  • Võimatu sündmuse tõenäosus on 0.
  • Kindla sündmuse tõenäosus on 1.

Sündmuse A vastand­sündmuseks   A¯  nimetatakse sündmust, mis toimub parajasti siis, kui ei toimu sündmust A.

Kui sündmus A tähendab, et kuuetahulise täringu ühekordsel heitel esile tulev silmade arv jagub kolmega (3 või 6), siis  A¯  tähendab, et esile tulev silmade arv on 1, 2, 4 või 5.

Kui sündmus A tähendab, et ühekordsel mündiviskel tuleb vapp, siis sündmus  A¯ tähendab, et ühekordsel mündiviskel tuleb kiri.

Sündmuse ja selle vastand­sündmuse tõenäosuste summa on 1.

P (A) + P ( A¯) = 1

 Seega, P (A) = 1 – P ( A¯).

Märka

k – sündmuse A toimumiseks soodsate võimaluste arv

n – kõikide elementaarsündmuste võimalik arv

P – tõenäosus (pr propabilité)

  • Iga sündmuse A tõenäosus jääb 0 ja 1 vahele: 0 ≤ P (A) ≤ 1.
  • Sündmuse ja selle vastand­sündmuse tõenäosuste summa on 1.
Seotud sisu
Muud tegevused

Liivakast

  • 0,05
  • 0,25
  • 0,35
  • 0,45
  • 0,55
  • 0,65
  • 0,75
  • 0,95
  1. P (A) = 0,75,
    seega P ( A¯) = 
  2. P (A) = ,
    seega P ( A¯) = 0,05
  3. P (A) = 0,55,
    seega P ( A¯) = 
  4. P (A) = ,
    seega P ( A¯) = 0,65

Kõige tõenäolisemalt idaneb seeme sordist 

Seotud sisu
Muud tegevused

Põhiteadmised

Märka

  1. Esmalt loenda või määra kõide võimaluste arv n,
  2. siis loenda või määra soodsate võimaluste arv k,
  3. seejärel esita tõenäosus hariliku murru või kümnendmurru kujul.

Münti visatakse üks kord.

  1. Missugune on kulli tuleku tõenäosus?
  2. Missugune on kirja tuleku tõenäosus?
  1. Elementaarsündmusi on 
  2. Tõenäosus, et ühel viskel tuleb kaks kirja on .
  1. esmaspäeval 
  2. nädalavahetusel 
  3. tööpäeval   1-
  1. paarisarvulisel kuupäeval 
  2. nulliga lõppeval kuupäeval 
  3. mitte varem kui 20. kuupäeval 
  4. mitte hiljem kui 31. kuupäeval 
  • 0
  • 0,167
  • 0,333
  • 0,5
  • 0,667
  • 0,833
  • 1

Tõenäosus, et esile tulnud silmade arv on ...

  1.  5  
  2. väiksem kui 5  
  3. erineb 2-st  
  4. 3-ga jaguv arv  
  5. mitte suurem kui 6  
  6. suurem kui 6 
  1. T6 või T12 täringuga kahega jaguv silmade arv?
  2. T20 täringuga viiega jaguv silmade arv või T12 täringuga kolmega jaguv silmade arv?
  3. T10 täringuga mitte vähem kui 7 silma või T20 täringuga rohkem kui 9 silma?
  1. on äss?    
  2. ei ole äss?   
  3. on potimastist või äss?   
  4. ei ole potimastist ega äss?   
  5. on potiäss? 

Kaardipakis on alles  kaarti. 

Missugune on tõenäosus, et järgmisena võetav kaart on ...

  1. ärtukaart?   
  2. 7?   
  3. 5 või 6?
    Kaardipakis on viisi ja kuusi alles  , seega  .
  1. on valge 
  2. ei ole sinine 
  3. ei ole punane 
  4. on kollane 
  1. Võetakse sinine,  PA¯= .
  2. Võetakse kollane,  PB¯= .
  3. Võetakse punane, P ( C¯) = .
  4. Ei võeta sinist ega kollast,   PD¯= .
  5. Ei võeta valget palli,  PE¯= .
Seotud sisu
Muud tegevused

Hea osata

Jaota õpilaste arvud diagrammile.
  1. Missuguse tõenäosusega tegeles üks juhuslikult valitud õpilane spordiga?  
  2. Missuguse tõenäosusega tegeles üks juhuslikult valitud spordiga tegeleja ka muusikaga?  
  3. Missuguse tõenäosusega tegeles üks juhuslikult valitud õpilane muusikaga, kuid ei tegelenud spordiga?  
  4. Missuguse tõenäosusega tegeles üks juhuslikult valitud õpilane ainult spordi või ainult muusikaga? 

Kui palju peaks karbis olema punaseid toone, et ühe punase värvi võtmise tõenäosus ...

  1. ei ületaks sinise värvi võtmise tõenäosust?  
  2. ei jääks alla  13? 
     
  3. oleks ≈ 0,65? 
  4. oleks 0,75? 
  5. ületaks 0,9? 
     
Vaata sügavamale
Seotud sisu
Muud tegevused