О подобии произвольных фигур
 Белый мухомор |
||||||
Слово подобие часто употребляется и в повседневной разговорной речи, являясь синонимом таких слов, как сходство, схожесть и т. п. Например, говорят, что два человека во всех чертах характера подобны друг другу, многие слова русского языка подобны словам украинского, польского и других славянских языков, белый мухомор своим видом подобен шампиньону. В математике слову подобие придается точное значение, с которым у нас уже состоялось первое знакомство при изучении подобных треугольников. К более общему представлению о математическом понятии подобия мы можем придти, например, если рассмотрим две контурные карты Эстонии, выполненные в разных масштабах. Измерь аккуратно расстояния между городами (например, Таллинном и Нарвой, Таллинном и Выру, Пярну и Валга, Таллинном и Курессааре) сначала на большей карте, а затем на меньшей (или наоборот). Затем вычисли отношения соответствующих расстояний.
Что можно подметить? Оказывается, что все полученные отношения равны между собой. Если рассматривать данные карты как геометрические фигуры, то можно сказать, что для этих фигур отношение расстояний между соответствующими точками является постоянной величиной. Это постоянное число называется коэффициентом подобия, а сами фигуры – подобными. Подобны, например, два плана одной и той же квартиры, выполненные в разных масштабах, две фотографии с различным увеличением, сделанные с одного и того же негатива. Подобны любые два квадрата, а также любые два равносторонних треугольника.
 Эти картинки подобны. | ||||||||
Побобные многоугольники
Познакомимся теперь с подобными многоугольниками. Дадим определение:
два многоугольника называются подобными, если их соответственные стороны пропорциональны, а соответственные углы равны.
Для обозначения подобия многоугольников, например, четырехугольников ABCD и EFGH на рисунке, используется запись: ABCD ∼ EFGH. Так же, как и в случае подобных треугольников, соответствующие друг другу вершины записываются в одном и том же порядке.
 |
||||||
Учитывая это соглашение и определение подобия многоугольников, на основании рисунка мы можем записать:
- ;
- ∠A = ∠E, ∠B = ∠F, ∠C = ∠G, ∠D = ∠H.
Замечание. Треугольник является частным случаем многоугольника. Поэтому определение подобия многоугольников должно быть применимо и для треугольников. Определяя подобие треугольников, мы не требовали равенства их соответственных углов, так как это свойство вытекает из пропорциональности сторон (см. § 5.4 и задание 821). В случае же произвольных многоугольников из пропорциональности сторон не следует равенство соответственных углов.
Например, на рисунке изображены два четырехугольника, для которых (проверь это!), но их соответственные углы не равны. Эти четырехугольники не являются также и подобными, т. е. не являются увеличенной или уменьшенной копией друг друга. Таким образом, равенство соответственных углов является необходимым дополнительным условием в определении подобия произвольных многоугольников.
Упражнения A
 |
||||||||
Ответ: коэффициент подобия равен .
Коэффициент подобия | 2 | 1,5 | 0,5 | 0,8 |
Соответственные стороны подобного четырехугольника | см, | см, | см, | см, |
Ответ: периметр этого пола составляет м.
Города | Расстояние |
Таллинн – Курессааре | км |
Таллинн – Нарва | км |
Пярну – Валга | км |
Тарту – Выру | км |
Упражнения Б
 |
||||||||
- два любых правильных многоугольника с одинаковым числом вершин подобны;
- любые две равные фигуры подобны.
Ответ: масштаб такой карты будет .
 |
||||||
x =
y =
z =
Указание. Первую сторону треугольника начерти с помощью инструмента «Отрезок с фиксированной длиной». Чтобы найти третью вершину треугольника, воспользуйся инструментом «Окружность по центру и радиусу».
Первую сторону четырехугольника построй инструментом «Отрезок с фиксированной длиной» . Чтобы найти остальные вершины, воспользуйся инструментом «Окружность по центру и радиусу» . Третью вершину четырехугольника помести в произвольно выбранную точку на подходящей окружности, а четвертую вершину найди таким же способом, как и третью вершину треугольника.
Можно ли изменить форму треугольника (величины его углов), не изменяя длин его сторон? А форму четырехугольника?
Обоснуй,
- почему треугольник называют жесткой фигурой, а четырехугольник – нет;
- почему в общем случае для подобия многоугольников недостаточно только того условия, что их соответственные стороны пропорциональны.
