Периметры подобных многоугольников

Связь между периметрами подобных многоугольников описывается следующей теоремой.

Отношение периметров двух подобных многоугольников равно отношению любых двух соответственных сторон, т. е. коэффициенту подобия.

При доказательстве теоремы ограничимся случаем двух подобных пятиугольников H и H', так как доказательство не зависит от числа сторон многоугольника. Пусть стороны пятиугольника H равны a₁, a₂, a₃, a₄ и a₅ и его периметр равен Р. Стороны пятиугольника H' обозначим соответственно a₁', a₂', a₃', a₄' и a₅', периметр через P'.

Условие. H ∼ H' с коэффициентом подобия k, $\frac{a_{1}}{a_{1}'} = \frac{a_{2}}{a_{2}'} = \frac{a_{3}}{a_{3}'} = \frac{a_{4}}{a_{4}'} = \frac{a_{5}}{a_{5}'} = k$ .

Заключение. $\frac{P}{P'} = k$ .

Доказательство. Из условия получим, что a₁ = ka₁', a₂ = ka₂', a₃ = ka₃', a₄ = ka₄', a₅ = ka₅'.

Тогда периметр пятиугольника H выражается так: P = a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + a₅ = ka₁' + ka₂' + ka₃' + ka₄' + ka₅' = k(a₁' + a₂' + a₃' + a₄' + a₅') = kP', поскольку значение выражения в скобках равно P'.