Квадратное уравнение ax² + bx + c = 0

Научимся теперь решать полное квадратное уравнение ax² + bx + c = 0.

Для этого рассмотрим сначала, как решал квадратное уравнение x² + 10x = 39 считающийся создателем алгебры древнеперсидский математик аль-Хорезми в своей книге, написанной примерно в 830 году. Чтобы решить это уравнение, он начертил прямоугольник, составленный из квадрата со стороной х и прямоугольника со сторонами x и 10. Площадь такого прямоугольника равна x² + 10x, или 39.

Затем он разбил прямоугольник со сторонами х и 10 на две равные части и расположил их так, как показано на нижнем рисунке. После этого он дополнил чертеж до квадрата со стороной x + 5 и площадью (x + 5)². Новый квадрат содержит весь первоначальный прямоугольник и еще незакрашенный квадрат со стороной 5. На основании рисунка можно теперь составить уравнение (x + 5)² = 39 + 25, или (x + 5)² = 64. Из последнего уравнения получим, что x + 5 = 8 или x + 5 = –8. Поэтому x = 3 или x = –13. Проверка показывает, что оба эти числа удовлетворяют исходному уравнению x² + 10x = 39.

(a ± b)² = a² ± 2ab + b²

Рассмотрим еще раз, как с помощью рисунка преобразовано уравнение x² + 10x = 39. Прежде всего мы представили член 10x в виде 2 · 5x, а также добавили незакрашенный квадрат, т. е. прибавили квадрат числа 5. В результате в левой части уравнения получили x²+ 2 · 5x +5² – квадрат двучлена, а именно, (x + 5)². Так как к левой части уравнения мы прибавили 25, то, чтобы получить равносильное уравнение, нужно прибавить 25 и к правой части. Тогда мы и получим уравнение (x + 5)² = 39 + 25, т. е. уравнение (x + 5)² = 64.

Итак, мы получили прием решения квадратного уравнения, заключающийся в выделении полного квадрата двучлена.

Решим квадратное уравнение 4x² + 12x + 5 = 0, выделив в его левой части полный квадрат двучлена.

Сначала перенесем свободный член в правую часть уравнения:

4x² + 12x = –5.

Левую часть последнего уравнения преобразуем так, чтобы получить в ней квадрат двучлена. Так как 4x² + 12x = (2x)² + 2 · 2x · 3, то в левой части недостает слагаемого 3², или 9, для получения полного квадрата. Чтобы новое уравнение было равносильно данному, прибавим 9 также и к правой части:

(2x)² + 2 · 2x · 3 + 9 = 9 – 5, или (2x + 3)² = 4

Извлекая квадратный корень из обеих частей уравнения, получим:

$\begin{array}{rcl} |2 x + 3| & = & 2 \\ 2 x + 3 & = & \pm 2 \\ 2 x & = & - 3 \pm 2 \\ x & = & \frac{- 3 \pm 2}{2} \\ x_{1} & = & \frac{- 3 - 2}{2} = - 2,5 \\ x_{2} & = & \frac{- 3 + 2}{2} = - 0,5 \end{array}$

Проверим, является ли корнем число –2,5. Для этого вместо х в уравнение подставим это число. Получим:

4 · (–2,5)² + 12 · (–2,5) + 5 = 4 · 6,25 – 30 + 5 = 0.

Число –0,5 также является корнем исходного уравнения. Следовательно, уравнение имеет два корня: –2,5 и –0,5.

Ответ: x₁ = –2,5, x₂ = –0,5.

$\begin{array}{rcl} \sqrt{a^{2}} & = & |a| \end{array}$

Решим уравнение 5x² + 9x – 2 = 0.

Домножим обе части уравнения на такое число, при котором коэффициент квадратичного члена станет квадратом некоторого целого числа. Для данного уравнения это множитель 5. Получим уравнение, равносильное данному:

25x² + 45x – 10 = 0, или (5x)² + 2 · 5x · 4,5 = 10.

Чтобы левая часть уравнения стала квадратом двучлена, прибавим к ней 4,5² = 20,25. Одновременно прибавим это слагаемое и к правой части. Получим:

(5x)² + 2 · 5x · 4,5 + 20,25 = 30,25, или (5x + 4,5)² = 30,25.

Далее, по образцу предыдущего примера, получим:

$\begin{array}{rcl} 5 x + 4,5 & = & \pm \sqrt{30,25} \\ 5 x + 4,5 & = & \pm 5,5 \\ 5 x & = & - 4,5 \pm 5,5 \\ x & = & \frac{- 4,5 \pm 5,5}{5} \\ x_{1} & = & \frac{- 4,5 \pm 5,5}{5} = - 2 \\ x_{2} & = & \frac{- 4,5 \pm 5,5}{5} = 0,2 \end{array}$

Ответ: x₁ = –2, x₂ = 0,2.

Seotud sisu

Упражнения A

(x – 2)² =

(9s + 3t)² =

(2x – 3y)² =

(2a² + b)² =

m² + 2mn + n² = ${()}^{2}$

x² + y² – 2xy = ${()}^{2}$

4a² – 4ax + x² = ${()}^{2}$

x² + ax + 0,25a² = ${()}^{2}$

x² + 2xy +

m² + 2m +

a² – 2a +

z² – 4z +

9s² + 6s +

25n² – 20n +

Подсказка

Разбей прямоугольник со сторонами х и 10 на левом рисунке на две равные части и наложи их одну на другую так, как показано на правом рисунке, внутри квадрата со стороной 5.

x² – 6x + 8 = 0
x₁ = , x₂ =

x² + 4x – 5 = 0
x₁ = , x₂ =

4x² – 4x – 3 = 0
x₁ = , x₂ =

9x² + 6x + 3 = 0

Seotud sisu