Формула корней квадратного уравнения ax² + bx + c = 0

Метод выделения полного квадрата при решении квадратных уравнений является весьма трудоемким. Поскольку преобразование уравнения всегда производится по одной и той же схеме, то целесообразно найти соответствующую этой схеме общую формулу корней квадратного уравнения. Выведем эту формулу для уравнения

ax² + bx + c = 0, или ax² + bx = –c.

Для этого по образцу рассуждений предыдущего параграфа выделим полный квадрат в левой части уравнения. Чтобы первый член был квадратом одного из членов двучлена, домножим обе части уравнения на 4a. Тогда

4a²x² + 4abx = –4ac, или (2ax)² + 2 ⋅ 2ax ⋅ b = –4ac.

Чтобы в левой части получить полный квадрат двучлена, нужно прибавить к ней b². Одновременно необходимо прибавить b² и к правой части:

(2ax)² + 2 · 2ax · b + b² = b² – 4ac, или (2ax + b)² = b² – 4ac.

Предположив, что b² –4ac ≥ 0, извлечем из обеих частей уравнения квадратные корни и затем решим уравнение:

$\begin{array}{rcl} |2 a x + b| & = & \sqrt{b^{2} - 4 a c} \\ 2 a x + b & = & \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c} \\ 2 a x & = & - b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c} \\ x & = & \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} \end{array}$

Таким образом, корни квадратного уравнения ax² + bx + c = 0 можно найти по формуле

$\begin{array}{rcl} x & = & \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} \end{array}$ .

Решим квадратное уравнение 4x²+ 7x –2 = 0.

Здесь a = 4, b = 7 и c = –2. Подставим эти значения в формулу:

$\begin{array}{rcl} x & = & \frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 4 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 4} \\ x & = & \frac{- 7 \pm \sqrt{81}}{8} = \frac{- 7 \pm 9}{8} \end{array}$

$x_{1} = \frac{- 7 - 9}{8} = - 2, x_{2} = \frac{- 7 + 9}{8} = \frac{1}{4} = 0,25$

Для проверки подставим полученные числа в уравнение 4x² + 7x – 2 = 0.

Например, для x₁ = –2 левая часть уравнения
v = 4 ⋅ (–2)²+ 7 ⋅ (–2) – 2 = 16 –14 – 2 = 0.

Следовательно, x₁ = –2 является корнем уравнения. Аналогично проверяется, что и число 0,25 также является корнем уравнения.

Ответ: x₁ = –2, x₂ = 0,25.

Решим квадратное уравнение x² – 6x + 9 = 0.

Здесь a = 1, b = –6 и c = 9. По формуле находим:

$\begin{array}{rcl} x & = & \frac{6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1} \\ x & = & \frac{6 \pm \sqrt{0}}{2} = \frac{6 \pm 0}{2} \end{array}$

В этом случае говорят, что уравнение имеет два равных корня или единственный корень:

$\begin{array}{rcl} x_{1} & = & x_{2} = \frac{6}{2} = 3 \end{array}$ .

Ответ: x = 3.

Решим уравнение –3x² + 11x – 6 = 0.

Здесь целесообразно (хотя и необязательно) умножить обе части уравнения на –1. Таким способом мы избавляемся от отрицательного коэффициента квадратичного члена, в результате чего уменьшается возможность появления ошибок при использовании формулы корней уравнения. В данном случае мы получим уравнение

3x² – 11x + 6 = 0,

которое равносильно исходному и, решив которое (сделай это!), найдем, что $x_{1} = \frac{2}{3}$ и $x_{2} = 3$ .

Ответ: $x_{1} = \frac{2}{3}$ и $x_{2} = 3$ .

Решим уравнение 3x² – 2x + 4 = 0.

По формуле корней найдем, что

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 44}}{6}$ .

Поскольку в множестве действительных чисел нельзя извлечь квадратный корень из отрицательного числа, то данное уравнение не имеет решений (в множестве известных нам чисел).

Ответ: нет решений.

Решим уравнение $\begin{array}{rcl} t^{2} + \frac{t}{3} & = & \frac{1 - 4 t}{4} \end{array}$ .

Прежде всего упростим уравнение и приведем его к стандартному виду. Для этого умножим обе части уравнения на общий знаменатель данных дробей 12, приведем подобные слагаемые и перенесем все члены в левую часть:

$\begin{array}{rcl} 12 t^{2} + \frac{12 t}{3} & = & \frac{12 (1 - 4 t)}{4} \\ 12 t^{2} + 4 t & = & 3 (1 - 4 t) \\ 12 t^{2} + 4 t - 3 + 12 t & = & 0 \\ 12 t^{2} + 16 t - 3 & = & 0 \end{array}$

По формуле корней квадратного уравнения получим

$t = \frac{- 16 \pm \sqrt{256 + 144}}{2 \cdot 12}$ = $\frac{- 16 \pm \sqrt{400}}{24}$ = $\frac{- 16 \pm 20}{24}$ ,

откуда t₁ = –1,5 и $t_{2} = \frac{1}{6}$ .

Ответ: t₁ = –1,5, $t_{2} = \frac{1}{6}$ .

Попробуй решить это уравнение другим способом: приведи члены его левой части к общему знаменателю и затем реши полученное уравнение в виде пропорции.

Seotud sisu

Упражнения A

x² – 3x + 2 = 0
x₁ = , x₂ =

x² + 3x – 10 = 0
x₁ = , x₂ =

–2t² + 5t – 2 = 0
t₁ = , t₂ =

z² + z – 56 = 0
z₁ = , z₂ =

10u² + 17u – 39 = 0
u₁ = , u₂ =

–3v² + 7v + 6 = 0
v₁ = , v₂ =

109. Формула корней квадратного уравнения

Реши письменно приведенное в примере 3 уравнение –3x² + 11x – 6 = 0, не изменяя знаков его членов. Постарайся избежать ошибок со знаками!

x² – 3x – 4 = 0
x₁ = , x₂ =

3u² – 7u – 6 = 0
u₁ = , u₂ =

3m² + 2m – 1 = 0
m₁ = , m₂ =

3x² – 18x + 27 = 0
x₁ = , x₂ =

4x² – 24x + 20 = 0
x₁ = , x₂ =

t² – 5t + 6 = 0
t₁ = , t₂ =

2x² – 9x + 4 = 0
x₁ = , x₂ =

2z² + 2z – 60 = 0
z₁ = , z₂ =

y² + y + 2 = 0
y₁ = , y₂ =

10x² + 130x + 300 = 0
x₁ = , x₂ =

3x² + 2x – 8 = 0
x₁ = , x₂ =

2x² + 2x – 24 = 0
x₁ = , x₂ =

3t² – 8t – 3 = 0
t₁ = , t₂ =

2s² + 3s – 2 = 0
s₁ = , s₂ =

2u² – 9u + 4 = 0
u₁ = , u₂ =

2x² + 9x + 10 = 0
x₁ = , x₂ =

x² – 12x + 35 = 0
x₁ = , x₂ =

3t² – 2t – 1 = 0
t₁ = , t₂ =

4z² – 4z – 3 = 0
z₁ = , z₂ =

2u² – 3u – 2 = 0
u₁ = , u₂ =

2v² – 7v + 3 = 0
v₁ = , v₂ =

4x² – 4x + 1 = 0
x₁ = , x₂ =

3y² – 10y + 3 = 0
y₁ = , y₂ =

2n² + 18n – 20 = 0
n₁ = , n₂ =

4z² – 12z – 72 = 0
z₁ = , z₂ =

v² + 5v + 4 = 0
v₁ = , v₂ =

5z² + 2z + 1 = 0
z₁ = , z₂ =

9y² – 9y + 2 = 0
y₁ = , y₂ =

5t² – 11t + 2 = 0
t₁ = , t₂ =

3v² – 5v – 2 = 0
v₁ = , v₂ =

(2x – 1)(x + 3) = 0
x₁ = , x₂ =

(5x – 1)² = 9
x₁ = , x₂ =

(x – 2)(x + 3) = 6
x₁ = , x₂ =

(x – 2)²= –1
x₁ = , x₂ =

3x² – 2x = 0
x₁ = , x₂ =

2(x – 1)² + 4(x – 1) = 0
x₁ = , x₂ =

x² + 2x + 1 = 25
x₁ = , x₂ =

x² – 4x + 4 = 36
x₁ = , x₂ =

x(x + 2) = 35
x₁ = , x₂ =

x² = 3(2x – 3)
x₁ = , x₂ =

2(s² – 9) = 5(s – 4)
s₁ = , s₂ =

(u – 1)² = u + 1
u₁ = , u₂ =

(1 + 2t)(1 – 2t) = 3t
t₁ = , t₂ =

(u + 7)² = 28u
u₁ = , u₂ =

(3x – 2)(2x – 1) = x
x₁ = , x₂ =

(3x + 1)(9 – x) = (3 – x)²
x₁ = , x₂ =

x(3x + 2) = 8x
x₁ = , x₂ =

50 – 3t = t(2t – 3)
t₁ = , t₂ =

Ответ: эти числа есть и или же и .

Ответ: эти числа есть и .

Seotud sisu

Упражнения Б

$6 x + \frac{{(1 + x)}^{2}}{2} = \frac{(x - 1) (x + 2)}{4} + 8$
x₁ = , x₂ =

$\frac{3 u + 4}{5} - \frac{u^{2} - 4 u - 6}{10} = - 1$
u₁ = , u₂ =

$\frac{(2 v - 1) (1 + 2 v)}{3} - \frac{{(v - 2)}^{2}}{4} = v + 107$
v₁ = , v₂ =

$\frac{(u - 1) (u + 3)}{3} - \frac{u (u - 1)}{2} = \frac{2}{3}$
u₁ = , u₂ =

$x^{2} - x \sqrt{2} - 1 = 0$
x₁ ≈ , x₂ ≈

$2 t^{2} + t \sqrt{5} - 2 = 0$
t₁ ≈ , t₂ ≈

$5 u^{2} - 10 u + \sqrt{2} = 0$
u₁ ≈ , u₂ ≈

$x^{2} \sqrt{2} - 2 x - \sqrt{8} = 0$
x₁ ≈ , x₂ ≈

x² + 7x – 7 = 0
x₁ ≈ , x₂ ≈

x² – 8x + 9 = 0
x₁ ≈ , x₂ ≈

t² + 4t – 6 = 0
t₁ ≈ , t₂ ≈

m² + m – 5 = 0
m₁ ≈ , m₂ ≈

(x – 1)(x + 2) = 7
x₁ ≈ , x₂ ≈

(x + 2)² – 3x = 5
x₁ ≈ , x₂ ≈

$x = \frac{- k \pm \sqrt{k^{2} - a c}}{a} .$

Чтобы доказать эту формулу, замени в общей формуле корней квадратного уравнения коэффициент b на выражение 2k и упрости полученный результат.

Используй эту формулу для решения уравнений:

3x² + 4x + 1 = 0
x₁ = , x₂ =

x² – 4x – 21 = 0
x₁ = , x₂ =

3x² + 10x – 8 = 0
x₁ = , x₂ =

5t² – 12t + 4 = 0
t₁ = , t₂ =

9s² + 40s – 25 = 0
s₁ = , s₂ =

7u² – 20u – 3 = 0
u₁ = , u₂ =

(x – 1)² – 9(x – 1) + 14 = 0
x₁ = , x₂ =

(2t – 1)² + 2(2t – 1) – 15 = 0
t₁ = , t₂ =

3(5u – 1)² – 5(5u – 1) + 2 = 0
u₁ = , u₂ =

6(y + 2)² + y + 1 = 0
y₁ = , y₂ =

Подсказка

Обозначь новым неизвестным выражение в скобках и реши полученное уравнение относительно этого неизвестного.

Число диагоналей d выпуклого n-угольника можно найти по формуле $d = \frac{(n - 1) (n - 2)}{2} - 1$ .

Проверь справедливость этой формулы для n = 3 и n = 4.
При каком значении n многоугольник имеет 65 диагоналей?

Ответ: многоугольник имеет 65 диагоналей, если n = .
Существует ли многоугольник, у которого d = n (диагоналей столько же, сколько и сторон)?

Ответ: такой многоугольник, при этом n = .

Seotud sisu

Opiqus edenemine

	Tööd
	Peatükk on läbi töötatud

Формула корней квадрат­ного уравнения ax2 + bx + c = 0

Seotud sisu

Упражнения A

109. Формула корней квадратного уравнения

Seotud sisu

Упражнения Б

Подсказка

Seotud sisu

Lisa materjali

Lisatavad failid

Teata veast

Teata siia ainult Opiqu veast. Palun kirjelda viga nii täpselt kui võimalik.

Kui ootad Opiqu meeskonnalt vastust, lisa oma kontaktandmed (e-post, telefon).

Tee linnuke, et aidata meil spämmiga võidelda

Opiq kasutab küpsiseid

Формула корней квадратного уравнения ax² + bx + c = 0