Свойства корней приведенного квадратного уравнения

Выясним сначала, нельзя ли для приведенного квадратного уравнения получить более удобную формулу для вычисления его корней.

Рассмотрим приведенное уравнение x² + px + q = 0. Согласно выведен­ной в предыдущем параграфе формуле его корни $x=\frac{-p \pm \sqrt{p^2 - 4q}}{2}$.

Преобразуем эту формулу:

$x=\frac{-p \pm \sqrt{p^2 - 4q}}{2}$ = $-\frac{p}{2}\pm \frac{\sqrt{p^2 - 4q}}{2}$ = $-\frac{p}{2}\pm \frac{\sqrt{p^2 - 4q}}{\sqrt{4}}$ = $-\frac{p}{2}\pm \sqrt{\frac{p^2 - 4q}{4}}$ = $-\frac{p}{2}\pm \sqrt{\frac{p^2}{4}-q}$

Особенно удобно пользоваться этой формулой в случае, когда коэффициент p приведенного квадратного уравнения является четным числом.

Если x₁ и x₂ – корни приведенного квадратного уравнения x² + px + q = 0, то x₁ + x₂ = –p и x₁ x₂ = q.

Доказательство. Используя формулу корней квадратного уравнения для данного уравнения, получим, что

$x_1=\frac{-p - \sqrt{p^2 - 4q}}{2}$  и  $x_2=\frac{-p + \sqrt{p^2 - 4q}}{2}$.

Найдем сумму корней, обозначив дискриминант D для упрощения записи: D = p² – 4q. Получим:

$x_1+x_2$ = $\frac{-p - \sqrt{D}}{2}+\frac{-p + \sqrt{D}}{2}$ = $\frac{-p - \sqrt{D} - p + \sqrt{D}}{2}$ = $\frac{-2p}{2}=-p$.

Теперь найдем произведение корней:

$x_1{x}_2$ = $\frac{-p - \sqrt{D}}{2}·\frac{-p + \sqrt{D}}{2}$ = $\frac{\left(-p - \sqrt{D}\right)\left(-p + \sqrt{D}\right)}{4}$.

$x_1{x}_2$ = $\frac{{\left(-p\right)}^2 - {\left(\sqrt{D}\right)}^2}{4}$ = $\frac{p^2 - D}{4}$ = $\frac{p^2 - \left(p^2 - 4q\right)}{4}$ = $\frac{4q}{4}=q$.

Таким образом, x₁ + x₂ = –p и x₁x₂ = q. _■

Зная теорему Виета, можно, не решая уравнения, сразу сказать, чему равны сумма и произведение корней квадратного уравнения. По этой теореме можно определить также знаки корней приведенного квадратного уравнения.

Это обратное утверждение позволяет выполнять проверку найденных корней квадратного уравнения, а также по известным корням составить уравнение.

Теорема, обратная теореме Виета, позволяет простые квадратные уравнения решать устно.