Решение задач с помощью квадратных уравнений

Представим число 19 в виде суммы двух слагаемых, сумма квадратов которых равна 181.

Решение. Обозначим одно из слагаемых через х. Так как сумма двух слагаемых равна 19, то вторым слагаемым будет 19 – x. Квадраты этих чисел x² и (19 – x)². Получим уравнение

x² +(19 – x)² = 181.

После раскрытия скобок и упрощения уравнение принимает вид x² – 19x + 90 = 0, корни которого x₁ = 9 и x₂ = 10.

Оба корня подходят в качестве решений сформулированной задачи. Если первое слагаемое равно 9, то вторым слагаемым будет 19 – 9 = 10. Если же в качестве первого слагаемого взять 10, то вторым слагаемым будет 19 – 10 = 9. Таким образом, двумя искомыми слагаемыми должны быть 9 и 10. Проверка показывает, что сумма их квадратов 81 + 100 = 181.

Ответ: эти слагаемые 9 и 10.

Размеры лужайки прямоугольной формы 40 м и 90 м (cм. рисунок). Ее окружает прогулочная дорожка постоянной ширины, площадь которой вместе с площадью лужайки составляет 4136 м². Найдем ширину дорожки.

Решение. Пусть искомая ширина дорожки равна x м. Тогда общая длина всей площадки равна (90 + 2x) м, и ширина всей площадки равна (40 + 2x) м.

Следовательно, площадь дорожки и лужайки составляют (90 + 2x)(40 + 2x) м². Получаем уравнение

(90 + 2x)(40 + 2x) = 4136.​

Упростим его и получим уравнение стандартного вида

x² + 65x – 134 = 0,

корнями которого будут x₁ = –67 и x₂ = 2.

Отрицательный корень не удовлетворяет условию задачи.

Проверка показывает, что если ширина дорожки 2 м, то длина всей площадки будет 90 + 4 = 94 (м), ширина равна 40 + 4 = 44 (м), а площадь всей площадки равна 44 · 94 = 4136 (м²).

Ответ: ширина дорожки 2 м.