Биквадратным уравнением называется уравнение вида
ax4 + bx2 + c = 0.
то есть квадратное уравнение относительно квадрата неизвестного, так как x4 = (x2)2.
Приставка би происходит от латинского слова bis (буквально: дважды) и означает двойное, удвоение.
Для решения этого уравнения используют метод замены переменной. Обозначим квадрат неизвестного новой буквой, например, х2 = t. Тогда х4 = t2 и можно записать квадратное уравнение относительно нового неизвестного:
at2 + bt + c = 0.
Решим это уравнение относительно t и из уравнения x2 = t найдем значения x.
 |
||||||||
Решим уравнение x4 – 5x2 + 4 = 0.
Пусть x2 = t. Получим новое уравнение
t2 –5t + 4 = 0,
корнями которого будут t1 = 1 и t2 = 4. Для нахождения х осталось решить два уравнения:
- x2 = 1;
- x2 = 4.
Первое из них имеет два корня: x1 = –1 и x2 = 1. Второе уравнение имеет также два корня, которые мы обозначим x3 и x4. Получим: x3 = –2 и x4 = 2.
Ответ: исходное уравнение имеет четыре корня: –1; 1; –2; 2.
 |
||||||||
Решим уравнение 9x4 + 26x2 – 3 = 0.
Пусть x2 = t, тогда получим новое уравнение относительно t:
9t2 + 26t – 3 = 0.
Корни этого уравнения t1 = –3 и .
Новые уравнения относительно x:
- x2 = –3;
- .
Первое из них не имеет действительных корней. Из второго уравнения .
Ответ: , .
Из приведенных примеров ясно, что биквадратное уравнение может иметь не более четырех различных корней.
Упражнения
- Чему равна сумма корней биквадратного уравнения? Докажи высказанную тобой гипотезу.
- Исследуй (по образцу теоремы Виета), как связано произведение корней биквадратного уравнения с коэффициентами этого уравнения.
