Квадратичная функция y = ax²

В изученных ранее зависимостях (y = ax, y = ax + b, $y=\frac{a}{x}$) переменная y выражается через переменную x таким образом, что показатель степени x не больше 1. Ниже мы начнем изучать такие зависимости между х и у, при которых высшим показателем степени переменной х является 2. Такие функции имеют общее название – квадратичная функция.

В общем виде квадратичная функция задается формулой y = ax² + bx + c, где слагаемое ax² называется квадратичным членом, bx – линейным членом и c – свободным членом. Коэффициенты a, b и c называются соответственно коэффициентом квадратичного члена, коэффициентом линейного члена и свободным членом, а выражение в правой части формулы – квадратным трехчленом.

Квадратичные функции имеют важное значение как в самой математике, так и при описании различных явлений и процессов, встречающихся в повседневной жизни. С помощью квадратичной функции можно описать зависимость между временем движения равноускоренно движущегося тела и пройденным за это время расстоянием, траекторию полета артиллерийского снаряда и т. д.

Рассмотрим сначала простейшие квадратичные функции.

Можно привести еще много примеров аналогичных зависимостей между двумя переменными. Например, при свободном падении прой­денное телом расстояние s (в метрах) находится по формуле s = 4,9t², где t – время в секундах. С помощью формулы S = 4πr² можно вычислить, например, приближенное значение площади поверхности Луны, зная диаметр планеты, и т. д.

В общем случае, если обозначить переменные в подобных формулах через x и y, а числовой коэффициент – через a (a ≠ 0), то все такие формулы можно записать в виде

Полученная функция является частным случаем квадратичной функции y = ax² + bx + c при условии, что коэффициенты b и c равны нулю.

Переменная x является аргументом этой функции. В соответствии с формулой y = ax² каждому значению аргумента x соответствует одно определенное значение переменной y. Это значение у называется значением квадратичной функции y = ax², соответствующим значению аргумента х. Например, если x = 2, то соответствующим значением квадратичной функции y = 4x² будет y = 4 · 2² = 4 · 4 = 16.

Квадратичная функция y = ax² считается заданной, если задано значение коэффициента a и множество возможных значений аргумента x. В этом случае для каждого значения х из указанного множества можно вычислить соответствующее значение функции, т. е. переменной y. Множество значений аргумента x называется областью определения функции, а множество соответствующих значений переменной y – множеством значений (иногда областью изменения) функции.

Если область определения дополнительно не указана, то областью определения квадратичной функции считают множество всех действи­тельных чисел.

Если область определения функции задана перечислением ее элементов, то как область определения, так и множество значений функции могут быть записаны с помощью логических скобок и знака ∈. Например, если известно, что область определения составлена из чисел 1; 2; 3 и 4, то запишем: x ∈ {1; 2; 3; 4}. Такая запись означает, что переменная х является элементом множества (принадлежит множеству) {1; 2; 3; 4}. Аналогично поступают для записи множества значений функции.

Если значение коэффициента а квадратичной функции y = ax² не указано, но известна хотя бы одна пара соответствующих друг другу значений переменных x и y, то значение коэффициента а можно найти.