График квадратичной функции y = ax²

Построим сначала график квадратичной функции y = x², если –3 ≤ x ≤ 3. Для этого составим таблицу соответствующих значений переменных x и y.

Отметим на координатной плоскости точки, координаты которых – приведенные в таблице пары соответствующих значений переменных. Соединив эти точки плавной линией, мы получим график квадратичной функции y = x² (см. рисунок), который называется параболой.

Полученный график позволяет найти приближенные значения как квадрата числа, так и квадратного корня из числа.

Чтобы найти, например, квадрат числа 2, нужно найти ординату точки графика, абсцисса которой равна 2. Проведем через точку x = 2 на оси Ох перпендикулярную этой оси прямую до пересечения с графиком, а из найденной точки графика – горизонтальную прямую до пересечения с осью Оу, откуда и найдем, что квадрат числа 2 равен 4. Для того, чтобы найти квадратный корень, например, из числа 2, проведем через точку у = 2 оси Оу горизонтальную прямую и найдем точку ее пересечения с правой частью графика (почему именно с правой?). Из этой точки графика проведем перпендикуляр к оси Ох и найдем, что $\sqrt{2} \approx 1,4$ .

Действуя таким же образом, получим, что $\sqrt{3} \approx 1,7$ ; $\sqrt{4,8} \approx 2,2$ ; $\sqrt{5,6} \approx 2,4$ .

Рассмотрим теперь, как с помощью заданного графика квадратичной функции y = x² построить в той же системе координат графики квадратичных функций $y = 2 x^{2}$ и $y = \frac{1}{2} x^{2}$ . Для этого занесем некоторые значения этих функций в одну таблицу.

Из таблицы видно, что при одном и том же значении аргумента x значение квадратичной функции y = 2x² в 2 раза больше соответствующего значения функции y = x². Поэтому для получения графика квадратичной функции y = 2x² нужно увеличить в 2 раза ординату каждой точки графика квадратичной функции y = x². На рисунке стрелкой показан сдвиг одной из точек графика.

График же квадратичной функции $y = \frac{1}{2} x^{2}$ мы получим из графика функции y = x² путем уменьшения ординаты каждой точки этого графика в 2 раза (см. рисунок).

Вместо выражения «график квадратичной функции y = ax²» мы в дальнейшем будем говорить также «парабола y = ax²». Параболу y = x² (для которой a = 1) называют основной параболой.

Выясним, как расположены эти параболы относительно оси ординат. Так как a(–x)² = ax², то абсциссам x и –x соответствуют равные ординаты. Поэтому полученные графики симметричны относительно оси ординат, как видно и на рисунке. Ось симметрии параболы называется осью параболы. Точка пересечения параболы с ее осью называется вершиной параболы.

Вершиной параболы y = ax² является начало координат (см. рисунок). Если a > 0, то ax² ≥ 0, и все точки параболы y = ax², кроме вершины, расположены выше оси абсцисс (см. рисунок). В этом случае все другие точки параболы расположены выше ее вершины. О таких параболах говорят, что их ветви направлены вверх (парабола вогнутая).

Для любого отличного от нуля значения х величины ax² и –ax² являются взаимно противоположными числами (они равны по модулю, но противоположны по знаку). Поэтому точки (x; ax²) и (x; –ax²) симметричны относительно оси абсцисс.

Следовательно, графики квадратичных функций y = ax² и y = –ax² симметричны друг другу относительно оси абсцисс. Тем самым, графиком квадратичной функции y = –ax² также является парабола с вершиной в начале координат. Эту параболу мы получим, если отобразим параболу y = ax² симметрично относительно оси Оx. На рисунке параболы y = –2x² и $y = - \frac{1}{2} x^{2}$ получены путем симметричного преобразования относительно оси абсцисс соответственно парабол y = 2x² и $y = \frac{1}{2} x^{2}$ . Если a < 0, то все точки параболы (кроме вершины) расположены ниже вершины и говорят, что ветви параболы направлены вниз (парабола выпуклая).

На двух приведенных рисунках видно, что чем больше модуль коэффициента a, тем более узкой является парабола. Например, парабола y = 2x² ýже, чем основная парабола y = x², а последняя ýже параболы $y = \frac{1}{2} x^{2}$ .

Подведем итоги:

графиком квадратичной функции y = ax² является парабола, симметричная относительно оси ординат, вершина которой расположена в начале координат; если a > 0, то ветви параболы направлены вверх; если a < 0, то ветви параболы направлены вниз.

Seotud sisu

Упражнения A

Какая линия является графиком квадратичной функции y = ax²?
Как расположена эта линия относительно оси ординат?
Что называется осью параболы, вершиной параболы?
В какой точке расположена вершина параболы у = ах²?
Как расположены относительно оси абсцисс параболы y = ax² и y = –ax²?
В каких случаях ветви параболы y = ax² направлены вверх и в каких – вниз?

Начерти в одной системе координат графики квадратичных функций $y = \frac{1}{4} x^{2}$ , $y = \frac{1}{2} x^{2}$ и $y = 4 x^{2}$ , пользуясь графиком квадратичной функции y = x².

По каждому из графиков найди положительное значение x, для которого y = 2. Для какого из графиков найденное значение абсциссы будет наибольшим? Какая из этих парабол является самой широкой, а какая – самой узкой?

y = 2x²:	x	–1,5	0,5	1,8
	y

y = x²:	x	–1,5	0,5	1,8
	y

$y = \frac{1}{2} x^{2}$ :	x	–1,5	0,5	1,8
	y

При каких значениях переменной x выполнено равенство:

2x² = 7? Если x ≈ или x ≈ .

x² = 8? Если x ≈ или x ≈ .

$\frac{1}{2} x^{2} = 4,5$ ? Если x ≈ или x ≈ .

1,3 ≈

1,4 ≈

2,2 ≈

2,4 ≈

2,6 ≈

0,7 ≈

1,2 ≈

2,3 ≈

2,7 ≈

2,8 ≈

$\sqrt{2}$ ≈

$\sqrt{5}$ ≈

$\sqrt{6}$ ≈

$\sqrt{7}$ ≈

$\sqrt{8}$ ≈

$\sqrt{1,5}$ ≈

$\sqrt{2,9}$ ≈

$\sqrt{3,2}$ ≈

$\sqrt{6,5}$ ≈

$\sqrt{7,8}$ ≈

Длина стороны квадрата	Площадь квадрата
1,4 см	см²
1,8 см	см²
2,6 см	см²
2,8 см	см²
2,9 см	см²

Длина стороны квадрата	Площадь квадрата
0,6 см	см²
1,6 см	см²
2,4 см	см²
2,5 см	см²

Значение аргумента x	Значение квадратичной функции
x₁ = 1,7
x₂ = 2,4

Значение аргумента x	Значение квадратичной функции
x₁ = –2,8
x₂ = –2,4

Значение аргумента x	Значение квадратичной функции
x₁ = –2,5
x₂ = 1,9

Значение аргумента x	Значение квадратичной функции
x₁ = –1,7
x₂ = 2,4

–2 ≤ x ≤ 5
Наименьшее значение есть ,
а наибольшее – .

–6 ≤ x ≤ 3
Наименьшее значение есть ,
а наибольшее – .

С помощью графика найди значения аргумента x, для которых:

y = 0;
x =

y = –2;
x = или x =

y = –5;
x ≈ или x ≈

y = –1;
x ≈ или x ≈

y < 0;
x или x

y > –2.
x

Какие из данных точек расположены на графике квадратичной функции $y = \frac{1}{4} x^{2}$ ? Отметь такие точки.

A(–2; 1)
B(0; 0)
C(–4; –4)
D(–4; 4)

При этом расстояние s (в метрах) и время t (в секундах) связаны формулой $s = \frac{1}{2} g t^{2}$ , где $g = 9,81 \frac{м}{с^{2}}$ – ускорение свободного падения вблизи поверхности Земли. Сейчас известно, что на поверхности Луны ускорение свободного падения примерно в 5 раз меньше, чем на Земле. Поэтому на Луне все тела падают значительно медленнее, чем на Земле.

Начерти в одной системе координат графики функций $s = \frac{1}{2} g t^{2}$ , описывающих свободное падение на Земле и на Луне. Сравни их между собой. Каким образом эти графики показывают, что на Луне падение занимает больше времени?
С одной скалы на Земле и с другой скалы на Луне падает по камню. На Земле камень упал к подножью скалы за 4 секунды, а на Луне – за 12 секунд. Какова высота каждой скалы?
Ответ: высота скалы на Земле равна примерно м, а скалы на Луне – примерно м.
С высоты 180 м с Эйфелевой башни упал камень. Сколько времени заняло падение этого камня на землю? Сколько времени заняло бы падение камня с такой же высоты на Луне?
Ответ: падение этого камня на землю заняло с. На Луне такое же падение заняло бы с.
Как с помощью секундомера и персонального компьютера измерить глубину пропасти?

Seotud sisu

Упражнения Б

K(1,5; –225)
L(–3; –900)
M(2; 400)
N(–0,01; –1)

A(0,5; –1); a =

B(–2; 16); a =

I y = x²

II y = x²

III y = x²

IV y = x²

V y = x²

Подсказка

Для нахождения коэффициента a выбери на графике какую-нибудь точку и подставь ее координаты в формулу y = ax².

Seotud sisu

Opiqus edenemine

	Tööd
	Peatükk on läbi töötatud

График квадратичной функции y = ax2

Seotud sisu

Упражнения A

Seotud sisu

Упражнения Б

Подсказка

Seotud sisu

Lisa materjali

Lisatavad failid

Teata veast

Teata siia ainult Opiqu veast. Palun kirjelda viga nii täpselt kui võimalik.

Kui ootad Opiqu meeskonnalt vastust, lisa oma kontaktandmed (e-post, telefon).

Tee linnuke, et aidata meil spämmiga võidelda

Opiq kasutab küpsiseid

График квадратичной функции y = ax²