Иррациональные и действительные числа

Разрезав квадрат, площадь которого равна 1 квадратной единице (кв. ед.), вдоль его диагонали, мы получим два равных треугольника площадью 0,5 кв. ед. Можно ли из четырех таких треугольников составить квадрат с площадью 2 кв. ед.?

При решении предложенной задачи у нас возникают следующие вопросы.

  1. Какому уравнению удовлетворяет длина стороны х искомого квадрата?
  2. Числом какого рода выражается длина стороны этого квадрата?
  3. Может ли это число быть целым? (Рассмотрите квадраты последовательных целых чисел!)
  4. Может ли это число быть каким-либо нецелым рациональным числом, т.е. некоторой несократимой дробью \frac{a}{b}, где a, b ∈ Z, b ≠ 0 и b ≠ 1?

Докажем, что искомое число не является рациональным числом.

ТЕОРЕМА. Не существует рационального числа, квадрат которого был бы равен 2.

Доказательство

Будем доказывать от противного. Предположим, что такое число все же существует, и обозначим его символом 2. Из предыдущих рассуждений следует, что 2  не может быть целым числом. Следовательно, оно может быть только некоторой несократимой дробью ab, где числа a и b взаимно просты (в случае необходимости всегда можно сделать эту дробь несократимой). Поэтому

2=ab или 2=ab2=ab·ab=a · ab · b.

Поскольку числа a и b взаимно просты (т. е. у них нет общих простых делителей) и возведение числа в квадрат не добавляет новых (отличных от прежних) простых делителей, то и дробь a · ab · b является несократимой и, значит, не может быть равной числу 2. Мы получили противоречие с предположением о несократимости дроби ab, стало быть, к противоречию приводит предположение о том, что число 2 является рациональным.

Таким образом, кроме изученных нами рациональных чисел, должны существовать еще и другие числа. Такие числа называются иррациональными числами.

Расположение иррационального числа 2 на числовой оси характеризуется следующими неравенствами:

1<2<2

(12=1; 22=4);

1,4<2<1,5

(1,42=1,96; 1,52=2,25);

1,41<2<1,42

(1,412=1,9881; 1,422=2,016).

Более точные вычисления показывают, что

2=1,4142135623373…

Так как число 2 не является рациональным, то оно не является и бесконечной периодической десятичной дробью. Это число выражается бесконечной непериодической десятичной дробью.

Иррациональным числом называется число, выражающееся бесконечной непериодической десятичной дробью.

Для всякого иррационального числа существует противоположное ему число. Взаимно противоположные числа расположены на числовой оси симметрично относительно начала координат. Множество иррациональных чисел обозначается буквой I. Этому множеству принадлежат, например, числа 2; 3; -7, π и т. п.

Замечание

При вычислениях с иррациональными числами ограничиваются их приближенными значениями, или приближениями. Например, округление до сотых дает π≈3,14; 2≈1,41 и 3≈1,73. Если же числа записаны в виде π, 2  или 3, то говорят, что дано точное значение иррационального числа. Точное значение иррационального числа может быть записано и в виде выражения, содержащего знаки корней:

35; 5-2, π-1 и т. п.

Дополнив множество рациональных чисел всеми иррациональными числами, мы получаем множество R действительных (или вещественных) чисел:

R = I ∪ Q и Q ⊂ R.

Поскольку всякое рациональное число выражается бесконечной периодической десятичной дробью, а иррациональное число – бесконечной непериодической десятичной дробью, то мы можем сказать, что

всякое действительное число выражается бесконечной десятичной дробью.

Последовательное расширение числовых множеств показано на рисунке 1.3.

Рис. 1.3.
Seotud sisu
Muud tegevused

Упражнения A

Задание 14. Число \sqrt{3}

Найдите с помощью калькулятора промежутки длиной в 1; 0,1 и 0,01 единицы, в которых расположено число 3.

<3<

<3<

<3<

Задание 15. Действительные числа
  • -4
  • 13,5
  • 5
  • -38
  • 100,01
  • –π
  • 144
  • 0
  • -9
  • -235
  • -4
  • 13,5
  • 5
  • -38
  • 100,01
  • –π
  • 144
  • 0
  • -9
  • -235
  • -4
  • 13,5
  • 5
  • -38
  • 100,01
  • –π
  • 144
  • 0
  • -9
  • -235
  • -4
  • 13,5
  • 5
  • -38
  • 100,01
  • –π
  • 144
  • 0
  • -9
  • -235
  • -4
  • 13,5
  • 5
  • -38
  • 100,01
  • –π
  • 144
  • 0
  • -9
  • -235
  • -4
  • 13,5
  • 5
  • -38
  • 100,01
  • –π
  • 144
  • 0
  • -9
  • -235
Задание 16. Действительные числа
  • Все натуральные числа являются действительными числами.
  • Все целые числа являются натуральными числами.
  • Некоторые целые числа являются натуральными числами.
  • Ни одно рациональное число не является целым числом.
  • Ни одно иррациональное число не является целым числом.
  • Все иррациональные числа являются действительными числами.
  • Некоторые действительные числа являются целыми числами.
  • Некоторые рациональные числа являются целыми числами.
  • Все рациональные числа являются действительными числами.
  • Ни одно натуральное число не является целым числом.
Задание 17. Среднее арифметическое иррациональных чисел

Найдите с помощью калькулятора промежутки длиной в 1 и 0,1 единицы, в которых расположено среднее арифметическое чисел 2, 23 и 32.

Ответ: этими промежутками являются <x< и <x<.

Seotud sisu
Muud tegevused

Упражнения Б.

Задание 18. Доказательство

Докажите, что число 3 иррационально.

Задание 19. Действительные числа
  • r + 1
  • 2r
  • r100
  • r2 + 1
Задание 20. Четные и нечетные числа
  • Это число всегда нечетно.
  • Это число всегда четно.
  • Это число четно только тогда, когда n четно.
  • Это число нечетно только тогда, когда n нечетно.
  • Это число нечетно только тогда, когда n четно.

Задание 21. Доказательство

Задание 22. Произведение

12·37·59·711·…·99103·101105 = 

Задание 23. Последовательность

12; 23; 1; 85; 83; ; 

Указание
ab→2ab+1
Задание 24. Шары в урне
  1. 10 шаров одного цвета;
    Ответ: нужно вынуть не менее  шаров.
  2. по меньшей мере, один красный, один зеленый и один желтый шар?
    Ответ: шаров нужно вынуть не менее .

Seotud sisu
Muud tegevused