Задание 25. Свойства числовых множеств
Числовое множество называется упорядоченным, если для любых двух его чисел a и b выполняется одно из трех соотношений: либо a > b, либо a = b, либо a < b.
- Какие из множеств N, Z, Q, I и R являются упорядоченными?
- В каких из этих множеств есть наименьшее число?
- Какие из этих множеств не содержат ни наименьшего, ни наибольшего числа?
Говорят, что в числовом множестве имеет место отношение непосредственного следования, если за каждым числом a следует число a + 1 таким образом, что между этими числами не содержится ни одного другого числа из данного множества.
- Для каких из рассмотренных множеств можно говорить об отношении непосредственного следования чисел?
Числовое множество называется плотным, если между двумя любыми его числами имеются еще числа из того же множества.
- Как расположены по величине числа a, b и их среднее арифметическое?
- Приведите примеры целых чисел, среднее арифметическое которых не является целым числом.
- Существуют ли рациональные (действительные) числа, среднее арифметическое которых не является рациональным (действительным) числом?
- Какие из рассмотренных числовых множеств являются плотными? (При обосновании воспользуйтесь результатами подпунктов 5-7).
Числовое множество называется замкнутым относительно некоторого действия, если для любых двух чисел из этого множества результат рассматриваемого действия всегда принадлежит тому же множеству.
- Приведите пример натуральных чисел, разность которых не является натуральным числом.
- Приведите пример целых чисел, частное от деления которых не является целым числом.
- Относительно каких действий замкнуты множества N, Z, Q– ∪ Q+ и R– ∪ R+?
- Относительно каких действий замкнуто множество иррациональных чисел?
Числовое множество называется непрерывным, если каждому его числу соответствует одна определенная точка на числовой оси, и, обратно, каждой точке числовой оси соответствует одно определенное число из данного множества.
- Каким точкам числовой оси не соответствуют целые числа?
- С помощью циркуля и линейки постройте на числовой оси точку, которой не соответствует никакое рациональное число (воспользуйтесь, например, квадратом).
- Какое из рассмотренных множеств является непрерывным?
На основании результатов предыдущего задания мы можем теперь сформулировать следующие свойства числовых множеств.
Множество N всех натуральных чисел:
- является бесконечным упорядоченным множеством, в котором есть наименьшее, но нет наибольшего числа;
- является множеством, в котором числа непосредственно следуют одно за другим и не покрывают всей числовой оси;
- является замкнутым относительно сложения и умножения.
Множество Z всех целых чисел:
- является бесконечным упорядоченным множеством, в котором нет ни наименьшего, ни наибольшего числа;
- является множеством, в котором числа непосредственно следуют одно за другим и не покрывают всей числовой оси;
- является замкнутым относительно сложения, умножения и вычитания.
Множество Q всех рациональных чисел:
- является бесконечным упорядоченным множеством, в котором нет ни наименьшего, ни наибольшего числа;
- является плотным множеством, т. е. между любыми двумя рациональными числами всегда расположены еще и другие рациональные числа. Рациональные числа также не покрывают всей числовой оси;
- является замкнутым относительно сложения, вычитания, умножения, а также деления на отличное от нуля число.
Множество R всех действительных чисел:
- является бесконечным упорядоченным множеством, в котором нет ни наименьшего, ни наибольшего числа;
- является непрерывным множеством, т.е. действительные числа покрывают всю числовую ось. Каждой точке числовой оси соответствует определенное действительное число и каждому действительному числу соответствует определенная точка числовой оси;
- является замкнутым относительно сложения, вычитания и умножения, а также деления на отличное от нуля число. Корень квадратный из неотрицательного действительного числа всегда является действительным числом.
