История показывает, что в разные времена люди пользовались для записи чисел самыми разнообразными знаками и символами. Например, в древнем Вавилоне использовались клинописные знаки (см. рис. 1.4), в древней Греции – символы, происходящие от первых букв названий чисел (см. рис. 1.5), в древнем Риме – заглавные буквы латинского алфавита (I = 1, V = 5, X = 10, L = 50, C = 100, D = 500 и M = 1000) и т. д. В настоящее время мы пользуемся при записи чисел арабскими цифрами 0; 1; 2; …; 8 и 9.
Рис. 1.4
|
||||||
При записи числа символами значение символа может зависеть от местоположения этого символа в записи числа, но может и не зависеть от него. Пусть, к примеру, символ ¤ означает сто, символ £ – десять и символ & единицу. В этом случае, например, число 432 можно записать как ¤¤¤¤£££&&. Обратим внимание на то, что в записи ¤¤¤¤£££&& значение символа не зависит от того, какую позицию в записи числа занимает этот символ (т. е. на каком месте он расположен). Знак ¤ означает сто как на первом, так и на втором, третьем и четвертом месте. В данном случае нам нужно просто подсчитать, сколько сотен содержится в числе. С другой стороны, в современной записи числа 432 значение каждой цифры зависит от того, на каком месте она расположена.
В записи 432 цифра 4 означает число сотен, содержащихся в числе, цифра 3 – число десятков и цифра 2 – число единиц. Каждая цифра показывает, сколько единиц соответствующего разряда содержится в данном числе. Для числа 234 те же самые цифры имеют другие значения. Какие?
Итак, для записи чисел могут использоваться разные принципы. Каждый конкретный способ записи чисел называется системой счисления.
Система счисления, в которой значение каждой цифры зависит от местоположения (позиции) этой цифры в записи числа, называется позиционной системой счисления.
В позиционной системе числа записывают в виде последовательных цифр (символов), располагающихся одна за другой. Позиционные системы счисления получают названия в зависимости от того, сколько различных символов используется в данной системе для записи чисел. Пока нам хорошо известна только одна позиционная система счисления, в которой используется десять различных символов – это цифры 0, 1, 2, …, 9. Поэтому эта система называется десятичной системой счисления, а число десять – основанием данной системы. Разумеется, возможны системы счисления с другими основаниями. Например, если мы ограничимся для записи чисел только двумя символами, то получим двоичную систему, если тремя символами – то троичную систему и т. д. Основаниями этих систем будут соответственно два, три и т. д. Запись числа в системе счисления с основанием p называют также p-ичным числом. Так, говоря «десятичное», «пятеричное», «двоичное» число, мы имеем в виду запись числа соответственно в десятичной, пятеричной, двоичной системе счисления.
В десятичной системе первые десять натуральных чисел записываются цифрами от 0 до 9. Далее мы вводим новую единицу более высокого разряда и записываем числа от 10 до 99. Затем добавляем единицу еще более высокого разряда и т. д.
Если же мы рассмотрим, например, восьмеричную систему, то сможем использовать только 8 символов, и числовой ряд будет выглядеть следующим образом:
0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 10; 11; 12; 13; 14; 15; 16; 17; 20; 21; 22; 23; 24; 25; 26; 27; 30; 31; …
Так как после записи первых восьми чисел символы у нас исчерпаны, то нужно ввести новую единицу следующего, более высокого разряда. Эту единицу мы запишем, как и раньше, в виде 10. Аналогичная ситуация возникает после каждых следующих восьми чисел. Теперь воспользуемся числами, кратными разрядной единице (восьми) и получим 20, 30, …, 70. Вслед за числом 77 нужно опять ввести новую разрядную единицу еще более высокого порядка. Обозначим ее символом 100. Далее получим числа 101, 102, 103, 104, 105, 106, 107, 110, 111, 112 и т. д. Следуя описанной схеме, можно записать в восьмеричной системе сколь угодно большое число.
Так же, как и в десятичной системе, во всех других системах счисления будем записывать вводимые разрядные единицы более высоких порядков в виде 10, 100, 1000 и т. д. Чтобы не возникало недоразумений относительно того, в какой системе счисления записано число, будем отмечать основание системы с помощью нижнего индекса (индекс 10 в десятичной системе обычно не записывают).
Например, числа
Поскольку в восьмеричной системе за числом 7 следует число 10, а в шестеричной системе за числом 6 – число 10, то мы можем записать:
Упражнения Б
Задание 76. Пятеричная система счисления
Ответ: в пятеричной системе для записи чисел используется различных символов.
Задание 77. Восьмеричная система
Задание 78. Восьмеричная система
Восьмеричное число | 10 | 2 | 5 | 7 | 11 |
Десятичное число |
Задание 79. Четверичная система
Через сколько чисел в этом ряду каждый раз возникает новая разрядная единица (10, 100, 1000, ...)?
Ответ: каждое число в этом ряду является новой разрядной десятичной единицей.
Каким числам десятичной системы равны четверичные числа 10; 20; 30; 100?
Четверичное число | 10 | 20 | 30 | 100 |
Десятичное число |
Задание 80. Троичная система
Каким числам десятичной системы равны данные троичные числа?
Троичное число | 10 | 20 | 100 | 110 |
Десятичное число |
Задание 81. Различные системы счисления
Десятичное число |
Задание 82. Различные системы счисления
Десятичное число | Восьмеричное число | Семеричное число | Пятеричное число |
8 | |||
7 | |||
5 |
Задание 83. Различные системы счисления
Десятичная система | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |
Пятеричная система | ||||||||||||
Семеричная система | ||||||||||||
Шестеричная система | ||||||||||||
Двоичная система |
Задание 84. Трехзначное десятичное число
Задание 85. Четырехзначное десятичное число
Задание 86. Произвольное четырехзначное число
Задание 87. Десятичные и троичные числа
, , , , , , , , , , , , , , ,
