Действия с корнями

В предыдущем параграфе, изучая свойства корней, мы одновременно научились умножать, делить и возводить в степень корни, а также извлекать корень из корня. А как выполняется сложение и вычитание корней?

При сложении и вычитании корней нужно прежде всего записать рассматриваемое выражение, используя знаки требуемых действий. Например:

$4 \sqrt[3]{5} + 3 \sqrt{3}$ ;	$3 \sqrt[4]{3} + 17 \sqrt[4]{3}$ ;
$2 \sqrt[4]{5} + 3 \sqrt[3]{7} - \sqrt{2}$ ;	$7 \sqrt[5]{2} + \sqrt{2} - 3 \sqrt[5]{2}$ .

Выражения, стоящие в первом столбце, не допускают дальнейшего упрощения. В выражениях второго столбца можно выполнить приведение подобных слагаемых:

$3 \sqrt[4]{3} + 17 \sqrt[4]{3}$ = $(3 + 17) \sqrt[4]{3}$ = $20 \sqrt[4]{3}$ ;

$7 \sqrt[5]{2} + \sqrt{2} - 3 \sqrt[5]{2}$ = $4 \sqrt[5]{2} + \sqrt{2}$ .

Выражения, содержащие корни, называются подобными, если они отличаются только коэффициентами перед знаком корня или совпадают.

Например, выражения $3 \sqrt[4]{5 a}$ ; $- \sqrt[4]{5 a}$ и $\frac{3}{4} \cdot \sqrt[4]{5 a}$ подобны, a выражения $\sqrt{5 a}$ ; $\sqrt[3]{5 a}$ и $\sqrt[4]{5 a}$ не являются подобными.

Отметим, что корни часто называют радикалами. Таким образом, рассмотренные выше выражения – это выражения с радикалами.

Сумму выражений с радикалами можно упрощать только в том случае, когда среди ее слагаемых есть подобные члены.

Примеры.

$2 \sqrt[3]{25} + 13 \sqrt{2} - 15 \sqrt[3]{25} - 10 \sqrt{2}$ = $3 \sqrt{2} - 13 \sqrt[3]{25}$
$\sqrt{16} - \sqrt[3]{27} + \sqrt[5]{64} - 3 \sqrt[10]{4}$ = $4 - 3 + 2 \sqrt[5]{2} - 3 \sqrt[5]{2}$ = $1 - \sqrt[5]{2}$
$(\sqrt[3]{2} + 3 \sqrt{2}) (\sqrt{2} - 3 \sqrt[3]{4})$ = $\sqrt[3]{2} \cdot \sqrt{2} - 3 \sqrt[3]{8} + 3 \sqrt{4} - 9 \sqrt{2} \cdot \sqrt[3]{4}$ = $\sqrt[6]{2^{2} \cdot 2^{3}} - 6 + 6 - 9 \sqrt[6]{2^{3} \cdot 2^{4}}$ = $\sqrt[6]{2^{5}} (1 - 9 \sqrt[6]{2^{2}})$ = $\sqrt[6]{32} (1 - 9 \sqrt[3]{2})$
${(\sqrt[3]{2} - 3 \sqrt{2})}^{2}$ = $\sqrt[3]{4} - 6 \sqrt[3]{2} \cdot \sqrt{2} + 9 \sqrt{4}$ = $\sqrt[3]{4} - 6 \sqrt[6]{32} + 18$
$\frac{3 \sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{21}}{\sqrt[3]{3}}$ = $\frac{3 \sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{3}} + \frac{\sqrt[3]{3} \cdot \sqrt[3]{7}}{\sqrt[3]{3}}$ = $3 + \sqrt[3]{7}$

Seotud sisu

Упражнения A

Задание 134. Приведение подобных слагаемых

$3 \sqrt[4]{15} + 14 \sqrt{3} - 15 \sqrt[4]{15} - 8 \sqrt{3}$ =

7 \sqrt[3]{81} - 15 \sqrt[3]{21} - \sqrt{7} - 10 \sqrt[3]{21}

=

1 + \sqrt{18} - \sqrt[3]{24} + \sqrt[5]{64} - 2 \sqrt[5]{2}

=

\sqrt{48} + \sqrt[3]{2000} - \sqrt{12} - \sqrt[3]{250}

=

\sqrt[5]{64} - {(\sqrt[10]{2})}^{2} - \sqrt[3]{135} + \sqrt[3]{1080}

=

\sqrt[3]{- 81} + \sqrt[3]{24} + \sqrt{18} - \sqrt[4]{{(- 2)}^{2}}

=

\sqrt[5]{192} - \sqrt{48} - \sqrt[4]{{(- 3)}^{2}} - 2 \sqrt[5]{- 96}

=

\sqrt[5]{- 486} + \sqrt{245} + \sqrt[5]{{(- 2)}^{6}} + \sqrt{45}

=

Seotud sisu

Упражнения Б

Задание 135. Раскрытие скобок

(\sqrt[3]{9} - \sqrt{2}) \cdot \sqrt[3]{3}

= =

(\sqrt[5]{16} + \sqrt[3]{2}) \cdot \sqrt[5]{2}

= =

(2 + \sqrt[3]{2}) (\sqrt[3]{4} - 1)

= =

(1 - 2 \sqrt[5]{3}) (\sqrt[5]{81} + 6)

= =

(\sqrt[3]{4} - \sqrt{2}) (\sqrt[3]{4} + \sqrt{2})

= =

(3 \sqrt[3]{3} - 4,5 \sqrt{2}) (\sqrt{2} + \sqrt[3]{9})

= =

(3 \sqrt[3]{4} - 2 \sqrt{5}) (3 \sqrt[3]{4} + 2 \sqrt{5})

= =

(2 \sqrt[5]{8} + 3 \sqrt[3]{4}) (2 \sqrt[5]{8} - 3 \sqrt[3]{4})

= =

{(2 \sqrt[3]{9} - 3)}^{2}

= =

{(3 \sqrt[5]{8} - 2)}^{2}

= =

{(3 \sqrt{2} + 2 \sqrt[3]{4})}^{2}

= =

{(2 \sqrt{2} + 3 \sqrt[3]{4})}^{2}

= =

Задание 136. Упрощение

\frac{\sqrt{\sqrt{3}} + \sqrt[4]{3 \sqrt{2}}}{\sqrt[4]{3}}

=

\frac{\sqrt[3]{\sqrt{18}} - 2 \sqrt[3]{3 \sqrt{2}}}{\sqrt[6]{18}}

=

\frac{{(\sqrt[3]{3 \sqrt{2}})}^{2} + \sqrt[4]{2 \sqrt[3]{2}}}{\sqrt[3]{2}}

=

\frac{{(\sqrt[3]{- 3 \sqrt{2}})}^{2} + \sqrt{2 {(\sqrt[3]{- 2})}^{2}}}{\sqrt[3]{2}}

=

Задание 137.* Упрощение

\sqrt[4]{17 + \sqrt{288}}

= = =

\sqrt[4]{28 - 16 \sqrt{3}}

= = =

Задание 138.* Упрощение

A = \sqrt{4 + 2 \sqrt{3}} - \sqrt{4 - 2 \sqrt{3}}

A² =

A =

A = \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} - \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}

A² =

A =

{(a \pm b)}^{3} = a^{3} \pm 3 a^{2} b + 3 a b^{2} \pm b^{3}

Задание 139.* Доказательство

$\sqrt[3]{5 \sqrt{2} + 7} - \sqrt[3]{5 \sqrt{2} - 7} = 2$

Указание

{(a \pm b)}^{3} = a^{3} \pm 3 a^{2} b + 3 a b^{2} \pm b^{3}

$\sqrt[3]{6 + \sqrt{\frac{847}{27}}} + \sqrt[3]{6 - \sqrt{\frac{847}{27}}} = 3$

Указание

{(a \pm b)}^{3} = a^{3} \pm 3 a^{2} b + 3 a b^{2} \pm b^{3}

Seotud sisu

Teenust osutab Star Cloud OÜ

Liitu Opiquga

Opiqus edenemine

	Tööd
	Peatükk on läbi töötatud

Действия с корнями

Seotud sisu

Упражнения A

Задание 134. Приведение подобных слагаемых

Seotud sisu

Упражнения Б

Задание 135. Раскрытие скобок

Задание 136. Упрощение

Задание 137.* Упрощение

Задание 138.* Упрощение

Задание 139.* Доказательство

Указание

Указание

Seotud sisu

Lisa materjali

Lisatavad failid

Teata veast

Teata siia ainult Opiqu veast. Palun kirjelda viga nii täpselt kui võimalik.

Kui ootad Opiqu meeskonnalt vastust, lisa oma kontaktandmed (e-post, telefon).

Tee linnuke, et aidata meil spämmiga võidelda

Opiq kasutab küpsiseid