Действия со степенями и корнями

В случае дробного показателя степени справедливы все пять основных свойств возведения в степень:

$a^{\frac{m}{n}} \cdot a^{\frac{p}{q}} = a^{\frac{m}{n} + \frac{p}{q}}$

$a^{\frac{m}{n}} : a^{\frac{p}{q}} = a^{\frac{m}{n} - \frac{p}{q}}$

${(a^{\frac{m}{n}})}^{\frac{p}{q}} = a^{\frac{m p}{n q}}$

${(a \cdot b)}^{\frac{m}{n}} = a^{\frac{m}{n}} \cdot b^{\frac{m}{n}}$

${(a : b)}^{\frac{m}{n}} = a^{\frac{m}{n}} : b^{\frac{m}{n}}$

Доказательство.

Докажем, например, что

$a^{\frac{m}{n}} \cdot a^{\frac{p}{q}} = a^{\frac{m}{n} + \frac{p}{q}}$

Получим: $a^{\frac{m}{n}} \cdot a^{\frac{p}{q}}$ = $\sqrt[n]{a^{m}} \cdot \sqrt[q]{a^{p}}$ = $\sqrt[n q]{a^{m q}} \cdot \sqrt[n q]{a^{p n}}$ = $\sqrt[n q]{a^{m q} \cdot a^{p n}}$ = $\sqrt[n q]{a^{m q + p n}}$ = $a^{\frac{m q + p n}{n q}}$ = $a^{\frac{m}{n} + \frac{p}{q}}$

Seotud sisu

Упражнения Б

Задание 146. Доказательство

$a^{\frac{m}{n}} : a^{\frac{p}{q}} = a^{\frac{m}{n} - \frac{p}{q}}$

{(a^{\frac{m}{n}})}^{\frac{p}{q}} = a^{\frac{m p}{n q}}

{(a \cdot b)}^{\frac{m}{n}} = a^{\frac{m}{n}} \cdot b^{\frac{m}{n}}

{(a : b)}^{\frac{m}{n}} = a^{\frac{m}{n}} : b^{\frac{m}{n}}

Seotud sisu

Примеры вычислений

Формулы 1–5 позволяют теперь заменять действия с корнями соответствующими действиями со степенями с дробными показателями.

Примеры.

Вычислим с помощью дробных показателей степени: $\sqrt[3]{8^{2}} + \sqrt[4]{{(\frac{1}{81})}^{- 3}}$ = $8^{\frac{2}{3}} + {(\frac{1}{81})}^{- \frac{3}{4}}$ = ${(2^{3})}^{\frac{2}{3}} + {(3^{- 4})}^{- \frac{3}{4}}$ = $2^{3 \cdot \frac{2}{3}} + 3^{- 4 (- \frac{3}{4})}$ = $2^{2} + 3^{3}$ = $31$ ;
$\sqrt{\sqrt[5]{2^{10} \cdot 3^{5}}}$ = ${({(2^{10} \cdot 3^{5})}^{\frac{1}{5}})}^{\frac{1}{2}}$ = ${(2^{10} \cdot 3^{5})}^{\frac{1}{10}}$ = $2^{10 \cdot \frac{1}{10}} \cdot 3^{5 \cdot \frac{1}{10}}$ = $2 \cdot 3^{\frac{1}{2}}$ = $2 \sqrt{3}$ .
Вычислим, пользуясь действиями с корнями:
$\sqrt[3]{8^{2}} + \sqrt[4]{{(\frac{1}{81})}^{- 3}}$ = ${(\sqrt[3]{8})}^{2} + {(\sqrt[4]{81})}^{3}$ = $2^{2} + 3^{3}$ = $31$ ;
$\sqrt{\sqrt[5]{2^{10} \cdot 3^{5}}}$ = $\sqrt[10]{2^{10} \cdot 3^{5}}$ = $2 \sqrt[10]{3^{5}}$ = $2 \sqrt{3}$ .

То, каким образом Вы будете решать ту или иную задачу, зависит от Вашего выбора. Естественно, каждый из вас постарается выбрать для себя наиболее простой вариант.

Seotud sisu

Упражнения A

Задание 147. Действия со степенями и корнями

$2^{13} \cdot {1,25}^{13} \cdot {0,4}^{13}$ =

49^{4} \cdot {(\frac{1}{7})}^{4} \cdot 16^{2}

=

{(\frac{3}{4})}^{2} + \frac{3^{2}}{4} - \frac{3}{4^{2}}

=

\frac{2^{3}}{3} - \frac{2}{3^{2}} + {(\frac{2}{3})}^{4}

=

\frac{5^{2} 5^{- 1} - 5^{0}}{2^{- 2}}

=

\frac{3^{2} 3^{- 1} + {1,5}^{0}}{2^{- 2}}

=

\frac{4^{- 1} - 3 \cdot {(\frac{2}{3})}^{- 2}}{5 - {(\frac{1}{2})}^{- 1}}

=

{[\frac{3}{4} - {(\frac{2}{3})}^{- 1}]}^{- 2}

=

Задание 148. Извлечение корня из корня

\sqrt[3]{\sqrt{\sqrt{6}}}

=

\sqrt[3]{\sqrt[4]{125}}

=

\sqrt[4]{\sqrt{\sqrt[3]{16}}}

=

Задание 149. Действия со степенями и корнями

\sqrt[3]{2000} + 4 \sqrt[3]{\frac{1}{32}} - 2 \sqrt[3]{- 2} + 6 \sqrt[3]{- \frac{1}{4}}

=

\sqrt[6]{16} (\sqrt{8} - 20 \sqrt[3]{4} + \sqrt[6]{2})

=

\sqrt{2} (\sqrt{2} + \sqrt[3]{4} + \sqrt[4]{8})

=

(\sqrt{3} + \sqrt[3]{2}) (\sqrt{2} - \sqrt[3]{3})

=

(1 - \sqrt[3]{5}) (1 + \sqrt[3]{5} + \sqrt[3]{25})

=

{(\sqrt{3 + \sqrt{5}} + \sqrt{3 - \sqrt{5}})}^{2}

=

Задание 150. Действия со степенями и корнями

49^{\frac{1}{2}} - 64^{\frac{1}{3}} + 125^{\frac{2}{3}}

=

$25^{\frac{1}{2}} - 27^{\frac{2}{3}} + 81^{\frac{3}{4}}$ =

${[\frac{\sqrt[3]{32} \cdot 2^{- \frac{2}{3}}}{{(3 - 2)}^{0}}]}^{- 5}$ =

{(\frac{\sqrt[5]{64} \cdot 2^{- \frac{1}{5}}}{\sqrt{8}})}^{- 4}

=

Задание 151. Действия со степенями и корнями

{[{(\frac{3}{4})}^{0}]}^{- 0,5} - 7,5 \cdot 4^{- \frac{3}{2}} - {(- 2)}^{- 4} + 81^{0,25}

=

${[{(\frac{1}{4})}^{- 1}]}^{\frac{1}{2}} + {(\frac{8}{27})}^{- \frac{2}{3}} - 81^{\frac{3}{4}} + {(- 16)}^{0}$ =

{(\frac{1}{3})}^{- 10} \cdot 27^{- 3} + {0,2}^{- 4} \cdot 25^{- 2} + {(64^{- \frac{1}{9}})}^{- 3}

=

Seotud sisu

Упражнения Б

Задание 152. Извлечение корня из корня

$\sqrt{5 \sqrt[3]{625}}$ =

\sqrt[3]{3 \sqrt[4]{3 \sqrt[5]{3}}}

=

\sqrt[4]{12 \sqrt{9 \sqrt[3]{4}}}

=

Задание 153. Действия со степенями и корнями

{(9^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{4}} - {(\sqrt{625^{5}})}^{- \frac{1}{10}} + {[{(\frac{3}{4})}^{- 1} \cdot {(\frac{2}{9})}^{- \frac{6}{7}}]}^{0} : \sqrt{36^{- 1}} + 5^{- 1}

=

$[4^{- \frac{1}{4}} + {(\sqrt{2^{3}})}^{- \frac{4}{3}}] \cdot [\frac{1}{\sqrt[4]{4}} - {(2 \sqrt{2})}^{- 1 \frac{1}{3}}]$ =

{(\frac{2}{3})}^{- 3} \cdot \sqrt[3]{{(- 0,064)}^{- 1}} \cdot 10^{- 1} + \sqrt{8} \cdot \sqrt[8]{16}

=

Задание 154. Действия со степенями и корнями

{\{\sqrt{{(\frac{5}{6})}^{0} \cdot {(\frac{1}{4})}^{- 1}} + {[{(\frac{3}{4})}^{- 1} \cdot {(\frac{9}{16})}^{0,5}]}^{0}\}}^{5}

.

Ответ: 20% от этого числа равны .

Задание 155. Действия со степенями и корнями

{(\frac{1}{8})}^{- \frac{1}{3}} - \sqrt{{0,81}^{- 1}} + \sqrt[3]{{0,027}^{- 2}}

?

Ответ: число 30 больше данного чиса на %.

Задание 156. Действия со степенями и корнями

{(\frac{1}{4})}^{- 1,5} + \frac{3}{\sqrt[4]{0,0081}} + {(\frac{1}{16})}^{- 0,75}

.

Ответ: это число равно .

Задание 157.* Доказательство тождества

{(10 + \sqrt{24} + \sqrt{40} + \sqrt{60})}^{\frac{1}{2}} = \sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5}

[{(\frac{1}{9})}^{\frac{1}{3}} + 4 \cdot {(\frac{1}{72})}^{\frac{1}{3}} - 4^{\frac{1}{3}}] \cdot (9^{\frac{1}{3}} + 12^{\frac{1}{3}} + 16^{\frac{1}{3}}) = - 1

Задание 158*. Упрощение

\sqrt{2 + \sqrt{3}} \cdot \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{3}}} \cdot \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{3}}}} \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{3}}}}

=

$(\sqrt[6]{25 + 4 \sqrt{6}} - \sqrt[3]{1 + 2 \sqrt{6}}) \cdot \sqrt[3]{1 - 2 \sqrt{6}}$ =

Seotud sisu

Teenust osutab Star Cloud OÜ

Liitu Opiquga

Opiqus edenemine

	Tööd
	Peatükk on läbi töötatud

Действия со степенями и корнями

Доказательство.

Seotud sisu

Упражнения Б

Задание 146. Доказательство

Seotud sisu

Примеры вычислений

Seotud sisu

Упражнения A

Задание 147. Действия со степенями и корнями

Задание 148. Извлечение корня из корня

Задание 149. Действия со степенями и корнями

Задание 150. Действия со степенями и корнями

Задание 151. Действия со степенями и корнями

Seotud sisu

Упражнения Б

Задание 152. Извлечение корня из корня

Задание 153. Действия со степенями и корнями

Задание 154. Действия со степенями и корнями

Задание 155. Действия со степенями и корнями

Задание 156. Действия со степенями и корнями

Задание 157.* Доказательство тождества

Задание 158*. Упрощение

Seotud sisu

Lisa materjali

Lisatavad failid

Teata veast

Teata siia ainult Opiqu veast. Palun kirjelda viga nii täpselt kui võimalik.

Kui ootad Opiqu meeskonnalt vastust, lisa oma kontaktandmed (e-post, telefon).

Tee linnuke, et aidata meil spämmiga võidelda

Opiq kasutab küpsiseid