Упрощение иррациональных выражений

При упрощении иррациональных выражений действуют таким же образом, как и в случае рациональных выражений: выполняют все указанные действия, учитывая порядок их выполнения, и преобразуют выражение в дробь, а по возможности, и в целое выражение.

Пример 1.

$(\frac{2}{\sqrt{x} - \sqrt{y}} + \frac{1}{x + \sqrt{x y}} \cdot \frac{2 x}{\sqrt{y} - \sqrt{x}}) : \frac{4}{(x - y) {(x y)}^{- \frac{1}{2}}}$ = $(\frac{2}{\sqrt{x} - \sqrt{y}} - \frac{1}{{(\sqrt{x})}^{2} + \sqrt{x y}} \cdot \frac{2 x}{\sqrt{x} - \sqrt{y}}) : \frac{4 \sqrt{x y}}{x - y}$ = $(\overset{\sqrt{x} (\sqrt{x} + \sqrt{y})}{\frac{2}{\sqrt{x} - \sqrt{y}}} - \overset{1}{\frac{1 \cdot 2 x}{\sqrt{x} (\sqrt{x} + \sqrt{y}) (\sqrt{x} - \sqrt{y})}}) : \frac{4 \sqrt{x y}}{x - y}$ = $\frac{2 x + 2 \sqrt{x y} - 2 x}{\sqrt{x} (\sqrt{x} + \sqrt{y}) (\sqrt{x} - \sqrt{y})} : \frac{4 \sqrt{x y}}{x - y}$ = $\frac{\overset{1}{2} \overset{1}{\sqrt{x y}} \overset{1}{(x - y)}}{\sqrt{x} \underset{1}{(x - y)} \underset{2}{4} \underset{1}{\sqrt{x y}}}$ = $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$ = $\frac{\sqrt{x}}{2 x}$ .

Зачастую, особенно в случае числовых иррациональных выражений со знаменателем в виде алгебраической суммы, целесообразно освободиться от иррациональности в знаменателях перед тем, как выполнять действия.

Пример 2.

$(\frac{4}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} + \frac{3}{\sqrt{5} - \sqrt{2}}) \cdot {(\sqrt{6} + \sqrt{5})}^{- 1}$ = $[\frac{4 (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{6 - 2} + \frac{3 (\sqrt{5} + \sqrt{2})}{5 - 2}] \cdot \frac{1}{\sqrt{6} + \sqrt{5}}$ = $(\sqrt{6} - \sqrt{2} + \sqrt{5} + \sqrt{2}) \cdot \frac{1}{\sqrt{6} + \sqrt{5}}$ = $1$

Seotud sisu

Упражнения A

Задание 194. Упрощение иррациональных выражений

$(\frac{x}{\sqrt{x}} - 2) \cdot \frac{2 x}{\sqrt{x} - 2}$ =

(\frac{1}{x - \sqrt{x}} - \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 1}) : \frac{1 - x}{\sqrt{x}}

=

(\frac{1}{a + \sqrt{a}} - \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a} + 1}) : \frac{1 - a^{2}}{\sqrt{a}}

=

(\frac{\sqrt{n}}{m - n} + \frac{1}{\sqrt{m} + \sqrt{n}}) : \frac{2 \sqrt{m}}{m - n}

=

(\frac{1}{\sqrt{x} - \sqrt{y}} + \frac{1}{\sqrt{x} + \sqrt{y}}) : \frac{2 \sqrt{x}}{x - y}

=

(\frac{\sqrt{a} - 1}{\sqrt{a} + 1} - \frac{\sqrt{a} + 1}{\sqrt{a} - 1}) (\frac{1}{\sqrt{a}} - \sqrt{a})

=

Задание 195. Свойства листа бумаги в формате DIN

Рис. 1.6

Перегните прямоугольник ABCD так, чтобы получить квадрат ABEF, и отметьте на бумаге точки E и F (см. рис. 1.6). Затем разверните лист бумаги и приложите вершину C прямоугольника к точке F. Согните лист бумаги еще раз.
1. Через какую точку проходит полученная линия сгиба?Ответ: полученная линия сгиба проходит через точку.
2. Сравните длину большей стороны прямоугольника с длиной диагонали квадрата ABEF. Выразите длину большей стороны прямоугольника через его меньшую сторону а.Ответ: длина большей стороны прямоугольникадлине(ы) диагонали квадрата ABEF. b = .
3. Найдите отношение длин большей и меньшей сторон листа бумаги.Ответ: \frac{b}{a} = .

Перегните лист бумаги вдоль серединного перпендикуляра к его бóльшим сторонам и разорвите этот лист пополам вдоль полученной линии сгиба. Повторите с каждой из половинок листа все процедуры, описанные в предыдущем подпункте.
1. Через какую точку проходят полученные линии сгиба?Ответ: эти линии проходят через .
2. Каково отношение длин большей и меньшей сторон новых листов бумаги? Обоснуйте свою гипотезу.Ответ: отношение длин большей и меньшей сторон новых листов бумаги равно , так как .

Если длины сторон листа бумаги относятся так, как в подзаданиях 1 и 2, то говорят, то этот лист имеет формат DIN. Бумага в формате DIN выпускается разных размеров. Если лист бумаги в формате DIN имеет площадь 1 м², то мы имеем дело с бумагой формата A0 (A-нуль). Разрезав лист бумаги A0 вдоль серединного перпендикуляра к длинной стороне, получим в формате DIN две половины – два листа бумаги формата A1 и т. д.

Вычислите длины сторон листа бумаги формата A4.Ответ: длины сторон листа бумаги формата A4 в миллиметрах есть ×.
Как с помощью линейки и листа бумаги формата А4 найти квадратный корень из числа 2?

Рис

Seotud sisu

Упражнения Б

Задание 196. Упрощение иррациональных выражений

(\frac{a^{1,5} + b^{1,5}}{a - b} - \frac{a - b}{a^{0,5} + b^{0,5}}) \cdot \frac{a - b}{\sqrt{a b}}

=

(\frac{15}{\sqrt{6} + 1} + \frac{4}{\sqrt{6} - 2} - \frac{12}{3 - \sqrt{6}}) (\sqrt{6} + 11)

=

{(\frac{22}{\sqrt{5} + 7} - \frac{1}{\sqrt{7} + \sqrt{5}} + \frac{9}{5 - \sqrt{7}})}^{2}

=

(\frac{2}{\sqrt{x} - \sqrt{y}} - \frac{2 \sqrt{x}}{x \sqrt{x} + y \sqrt{y}} \cdot \frac{x - \sqrt{x y} + y}{\sqrt{x} - \sqrt{y}}) : 4 \sqrt{x y}

=

(\frac{x \sqrt{x} + y \sqrt{y}}{\sqrt{x} + \sqrt{y}} - \sqrt{x y}) : (x - y) + \frac{2 \sqrt{y}}{\sqrt{x} + \sqrt{y}}

=

(\frac{\sqrt{1 + a}}{\sqrt{1 + a} - \sqrt{1 - a}} + \frac{1 - a}{\sqrt{1 - a^{2}} - 1 + a}) (\sqrt{\frac{1}{a^{2}} - 1} - \frac{1}{a})

=

(\frac{\sqrt{y + 1}}{\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}} - \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y + 1} + \sqrt{y}}) : (2 y + 1) + \sqrt{\frac{1}{y^{2}} - 1} - 1

=

(\frac{y - \sqrt{x y}}{\sqrt{x} + \sqrt{y}} + \sqrt{x}) : (\frac{y}{\sqrt{x y} - x} + \frac{x}{\sqrt{x y} + y} - \frac{x + y}{\sqrt{x y}})

=

[(a - b) {(\frac{a - b}{a + b})}^{- \frac{1}{2}} + a - b] \cdot [(a - b) \cdot \sqrt{\frac{a + b}{a - b}} - \frac{1}{{(a - b)}^{- 1}}]

=

[\frac{x^{\frac{1}{2}} + 3 y^{\frac{1}{2}}}{{(x^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} - 3 y^{\frac{1}{2}}}{x - y}] \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}}}{2}

=

(\frac{\sqrt{x} - \sqrt{y}}{x \sqrt{y} + y \sqrt{x}} + \frac{\sqrt{x} + \sqrt{y}}{x \sqrt{y} - y \sqrt{x}}) \cdot \frac{x \sqrt{x y}}{x + y} - \frac{2 y}{x - y}

=

Задание 197. Упрощение иррациональных выражений

{[\frac{\sqrt[4]{b} (\sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{b}) + 2 \sqrt[4]{a b}}{{(\sqrt[4]{b} + \sqrt[4]{a})}^{2}} - {(\sqrt[4]{\frac{b}{a}} + 1)}^{- 1} + 1]}^{\frac{1}{2}} \cdot \sqrt[8]{a b}

=

{[\frac{(a + b) {(a^{\frac{2}{3}} - b^{\frac{2}{3}})}^{- 1} - (\sqrt[3]{a^{2} b} - \sqrt[3]{a b^{2}}) {(b^{\frac{1}{3}} - a^{\frac{1}{3}})}^{- 2}}{(\sqrt[6]{a} + \sqrt[6]{b}) (\sqrt[3]{b} + \sqrt[6]{a b} - 2 \sqrt[3]{a})}]}^{- 1} + 2 \sqrt[6]{a}

=

Задание 198. Золотое сечение

Kuldlõige

Говорят, что разбиение отрезка прямой на два отрезка образует золотое сечение, если отношение длины всего отрезка к его большей части равно отношению большей части к меньшей. Отношение каждой пары отрезков обозначается буквой φ (золотое отношение). Определите точное значение φ.
Ответ: φ =
Найдите такое положительное число, которое на единицу больше обратного ему числа. Что Вы подметили?
Ответ: этим положитеьным числом является .
Стороны золотого прямоугольника находятся в отношении φ. От этого прямоугольника отрезают квадрат, сторона которого равна меньшей стороне прямоугольника. В каком отношении находятся стороны оставшегося прямоугольника?
Ответ: стороны оставшегося прямоугольника находятся в отношении .

Продолжите процесс разбиения оставшегося прямоугольника так, как описано в пункте 3. В каком отношении находятся диагонали двух последовательно отрезаемых квадратов; площади этих квадратов? Как связаны между собой отношение этих площадей и золотое отношение φ?
Ответ: диагонали двух последовательно отрезаемых квадратов находятся в отношении , а площади этих квадратов – в отношении . Отношение площадей квадратов является для числа φ .
Рассмотрим равнобедренный треугольник, у которого угол при вершине равен 36°. Найдите отношение длины боковой стороны этого треугольника к длине его основания. Для этого проведите биссектрису угла при его основании и найдите на чертеже подобные треугольники. Как можно назвать такой треугольник?
Ответ: отношение длины боковой стороны этого треугольника к длине его основания равно .
Две диагонали правильного выпуклого пятиугольника пересекаются в точке O. В каком отношении делит эта точка каждую из диагоналей?
Ответ: точка O делит каждую из диагоналей в отношении .
Найдите закономерность построения последовательности и определите два следующих ее члена: 1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; 21; 34; …
Ответ: следующие два члена есть и .
Числовая последовательность, построенная в пункте 7, называется последовательностью чисел Фибоначчи. Исследуйте с помощью калькулятора, к какому числу приближается отношение \frac{a_{n+1}}{a_n} двух последовательных ее членов при неограниченном возрастании n. Сравните это отношение с приближенным значением числа φ.
Ответ: отношение двух последоватеьных членов приближается к числу .
Найдите суммы: φ⁰ + φ¹; φ¹ + φ²; φ² + φ³; φ³ + φ⁴; … и сравните их соответственно с числами φ²; φ³; φ⁴; … Как выразить число φⁿ через числа φⁿ^-2 и φⁿ^-1?
Ответ: φⁿ =