Дробные неравенства

Задание 513. Знак частного

	положительным?	нулем?	отрицательным?
$\frac{6}{x}$
$\frac{-3}{x}$
$\frac{4}{x^{2}}$
$\frac{-2}{x}$
$\frac{x^{2}}{x + 1}$
$\frac{x}{x^{2} + 1}$
$\frac{x^{2}}{- 5}$
$\frac{x - 1}{8}$

Задание 514. Знак произведения

	положительным?	нулем?	отрицательным?
$6 x$
$- 3 x$
$4 x^{2}$
$- 2 x$
$x^{2} (x + 1)$
$x (x^{2} + 1)$
$- 5 x^{2}$
$8 (x - 1)$

Задание 515. Условия положительности частного и произведения

частное от деления двух чисел положительно;
произведение двух чисел положительно.

Задание 516. Условия отрицательности частного и произведения

частное от деления двух чисел отрицательно;
произведение двух чисел отрицательно.

Как мы выяснили, произведение двух чисел и частное от деления тех же чисел положительны (отрицательны) при одних и тех же условиях:

$\frac{a}{b} > 0$ ⇔ $a b > 0$

а и b одного знака

$\frac{a}{b} < 0$ ⇔ $a b < 0$

а и b имеют разные знаки

Полученным результатом можно пользоваться при решении дробных неравенств.

Неравенство называется дробным, если оно содержит переменную в знаменателе дроби.

Задание 517. Дробное неравенство

$\frac{6}{x}$
$\frac{- 3}{x}$
$\frac{4}{x^{2}}$
$\frac{- 2}{x}$
$\frac{x^{2}}{x + 1}$
$\frac{x}{x^{2} + 1}$
$\frac{x^{2}}{- 5}$
$\frac{x - 1}{8}$

Решим следующие дробные неравенства.

Пример 1.

\frac{x-2}{x+1}>0 ⇔ (x – 2)(x + 1) > 0;

Ответ: x ∈ (–∞; –1) ∪ (2; ∞), или x < –1 ∨ x > 2.

Пример 2.

\frac{5x+3}{2-5x}>0 ⇔ (5x + 3)(2 – 5x) > 0 ⇔ (5x + 3)(5x – 2) < 0;

Ответ: x ∈ (–0,6; 0,4), или –0,6 < x < 0,4.

Пример 3.

\frac{1}{x-1}>1 ⇔ \frac{1}{x-1}-1>0 ⇔ \frac{1-\left(x-1\right)}{x-1}>0 ⇔ \frac{1-x+1}{x-1}>0 ⇔ \frac{2-x}{x-1}>0 ⇔		Сначала преобразуем неравенство так, чтобы в его правой части стоял нуль,
\left(2-x\right)\left(x-1\right)>0 ⇔ \left(x-2\right)\left(x-1\right)<0.		затем вместо частного рассмотрим произведение.

Ответ: x ∈ (1; 2), или 1 < x < 2.

Задание 518. Условия равенства нулю частного и произведения

отношение двух чисел равно нулю;
произведение двух чисел равно нулю.

Чем отличаются друг от друга условие равенства нулю произведения и условие равенства нулю отношения двух чисел?

Для нестрогого дробного неравенства выполнены следующие соотношения:

\frac{a}{b} \geq 0

⇔ $\{\begin{cases} a b \geq 0 \\ b \neq 0 \end{cases}$

$\frac{a}{b} \leq 0$ ⇔ $\{\begin{cases} a b \leq 0 \\ b \neq 0 \end{cases}$

Пример 4.

Решим неравенство x\ge\frac{1}{x}.

x\ge\frac{1}{x} ⇔ x-\frac{1}{x}\ge0 ⇔ \frac{x^2-1}{x}\ge0 ⇔

\{\begin{cases} x (x^{2} - 1) \geq 0 \\ x \neq 0 \end{cases}

⇔

\{\begin{cases} x (x - 1) (x + 1) \geq 0 \\ x \neq 0 \end{cases}

Решение не должно содержать тех значений x, при которых знаменатель обращается в нуль.

Ответ: x ∈ [–1; 0) ∪ [1; ∞), или –1 ≤ x < 0 ∨ x ≥ 1.

Seotud sisu

Упражнения Б

Задание 519. Решение дробных неравенств

\frac{5}{x+2}>0

Ответ:

\frac{3}{x-1}<0

Ответ:

\frac{-10}{4-5x}<0

Ответ:

\frac{11}{2x+5}>0

Ответ:

\frac{1}{3x-8}<0

Ответ:

\frac{3x-2}{x^2}>0

Ответ:

\frac{x+1}{\left(x-1\right)^2}<0

Ответ:

\frac{2x-5}{x^4+4}>0

Ответ:

\frac{2x^2+1}{4x-3}<0

Ответ:

\frac{x}{x-1}>0

Ответ:

\frac{x}{x-1}<0

Ответ:

\frac{3x+5}{4-x}>0

Ответ:

\frac{x^2-4}{x}<0

Ответ:

\frac{x}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}>0

Ответ:

\frac{x+4}{x^2-4}<0

Ответ:

Задание 520. Решение дробных неравенств

\frac{1}{x+1}>1

Ответ:

\frac{2}{x-1}<-2

Ответ:

\frac{5x}{4x-1}<1

Ответ:

\frac{3x-1}{2x-1}>-2

Ответ:

\frac{1}{5-4x}>4

Ответ:

\frac{2x+1}{x+1}\ge-2

Ответ:

\frac{3x-7}{2x-1}>1

Ответ:

\frac{x-1}{2x+4}\ge1

Ответ:

\frac{4x-5}{2-x}\le-1

Ответ:

\frac{x^2-2x-1}{x+1}<x

Ответ:

\frac{1}{x-2}\ge\frac{1}{x}

Ответ:

\frac{2}{x+4}-1\le\frac{3}{x}

Ответ:

Задание 521. Решение дробных неравенств

\frac{\left(x-1\right)\left(x-2\right)}{x-3}>0

Ответ:

\frac{\left(x+1\right)\left(x-4\right)}{x+8}\ge0

Ответ:

\frac{x^2-4}{x^2-1}\le0

Ответ:

\frac{\left(x-3\right)^2}{\left(x+3\right)\left(x-4\right)}\ge0

Ответ:

\frac{\left(x-3\right)^3\left(x-6\right)}{\left(x+1\right)^2}>0

Ответ:

\frac{x^2-5x+6}{x^3-8}>0

Ответ:

\frac{x^3+8}{x^2-4}>0

Ответ:

\frac{x^2+5x+4}{x^2-5x-6}\le0

Ответ:

\frac{x^2+2x}{x^2-4}\le0

Ответ:

Задание 522. Значения функции

При каких значениях переменной x функция y=\frac{x^2-1}{x+2} принимает неотрицательные значения?

Ответ: значения данной функции неотрицательны, если .

Задание 523. Значения функции

При каких значениях переменной x значения функции y=\frac{-3}{x+5} принадлежат промежутку (–1; 1)?

Ответ: значения данной функции принадлежат промежутку (–1; 1), если .

Задание 524. Значения функции

При каких значениях переменной x значения функции y=\frac{1}{x} меньше или равны значениям функции y = 2 – x? Для проверки постройте с помощью компьютерной программы соответствующие графики.

Ответ: значения функции y=\frac{1}{x} меньше или равны значениям функции y = 2 – x, если .

Задание 525. Значения параметра

Укажите значения a, при которых значение дроби \frac{1}{a} больше значения дроби \frac{1}{a+1}?

Ответ: значение дроби \frac{1}{a} больше значения дроби \frac{1}{a+1}, если.

Задание 526. Значение дроби

Ответ: знаменатель дроби должен быть в промежутке .

Задание 527. Использования условия положительности (отрицательности) дроби при решении дробных неравенств

Дробное неравенство	Система неравенств	Ответ
\frac{3-2x}{2x-5}>0	$\{\begin{cases} 3 - 2 x 0 \\ 2 x - 5 > 0 \end{cases}$ или $\{\begin{cases} 3 - 2 x 0 \\ 2 x - 5 < 0 \end{cases}$
\frac{6x+18}{x-7}<0	$\{\begin{cases} 6 x + 18 0 \\ x - 7 > 0 \end{cases}$ или $\{\begin{cases} 6 x + 18 0 \\ x - 7 < 0 \end{cases}$

Дробное неравенство	Система неравенств	Ответ
\frac{2x-7}{5-x}\le0	$\{\begin{cases} 2 x - 7 0 \\ 5 - x > 0 \end{cases}$ или $\{\begin{cases} 2 x - 7 0 \\ 5 - x < 0 \end{cases}$
\frac{4-2x}{3x+5}\ge0	$\{\begin{cases} 4 - 2 x 0 \\ 3 x + 5 > 0 \end{cases}$ или $\{\begin{cases} 4 - 2 x 0 \\ 3 x + 5 < 0 \end{cases}$

Дробное неравенство	Система неравенств	Ответ
\frac{x-2}{x+3}>1	$\{\begin{cases} 0 \\ x + 3 > 0 \end{cases}$ или $\{\begin{cases} 0 \\ x + 3 < 0 \end{cases}$
\frac{x-5}{6-x}<1	$\{\begin{cases} 0 \\ 6 - x > 0 \end{cases}$ или $\{\begin{cases} 0 \\ 6 - x < 0 \end{cases}$

Задание 528. Графическое решение дробного неравенства

\frac{3}{x}<x-2

Ответ:

\frac{-1}{x}\ge x^2

Ответ:

\frac{2}{x}<1

Ответ:

Задание 529. Решение дробного неравенства

Сколькими различными способами Вы можете решить неравенство \frac{4}{x}>2x?

Задание 530. Двузначные числа, оканчивающиеся цифрой 5

Ответ: эти числа (в порядке возрастания) есть и .

Задание 531. Концентрация раствора

Ответ: воды можно добавить до г.

Задание 532. Скорость судна

Ответ: скорость судна в стоячей воде должна быть более км/ч.

Задание 533. Полет из Таллинна до Гамбурга

Ответ: меньше времени уйдет при погоде.

Задание 534. Столовое серебро

Ответ: меди можно добавить до г.

Задание 535. "Международные" золотые украшения

Ответ: примесей можно добавить не более г.

Задание 536. Решение дробного неравенства

\frac{4x+2}{x^2-1}-\frac{1}{x+1}\le\frac{1}{x-1}

Ответ:

\frac{1}{x\left(x-1\right)}+\frac{x}{1-x}<2-\frac{6}{x}

Ответ:

\frac{x^2-5x+6}{x^2-7x+12}<\frac{1}{2}

Ответ:

\frac{1}{x^2+1}>\frac{1}{2x^2+x+1}

Ответ:

\frac{x-3}{x-4}\ge\frac{x-4}{x-3}

Ответ:

\frac{1}{x-1}\ge\frac{1}{x}-\frac{1}{x-1}

Ответ:

2-\frac{x-3}{x-2}\ge\frac{x-2}{x-1}

Ответ:

Seotud sisu

Opiqus edenemine

	Tööd
	Peatükk on läbi töötatud

Дробные неравенства

Задание 513. Знак частного

Задание 514. Знак произведения

Задание 515. Условия положительности частного и произведения

Задание 516. Условия отрицательности частного и произведения

Задание 517. Дробное неравенство

Задание 518. Условия равенства нулю частного и произведения

Seotud sisu

Упражнения Б

Задание 519. Решение дробных неравенств

Задание 520. Решение дробных неравенств

Задание 521. Решение дробных неравенств

Задание 522. Значения функции

Задание 523. Значения функции

Задание 524. Значения функции

Задание 525. Значения параметра

Задание 526. Значение дроби

Задание 527. Использования условия положительности (отрицательности) дроби при решении дробных неравенств

Задание 528. Графическое решение дробного неравенства

Задание 529. Решение дробного неравенства

Задание 530. Двузначные числа, оканчивающиеся цифрой 5

Задание 531. Концентрация раствора

Задание 532. Скорость судна

Задание 533. Полет из Таллинна до Гамбурга

Задание 534. Столовое серебро

Задание 535. "Международные" золотые украшения

Задание 536. Решение дробного неравенства

Seotud sisu

Lisa materjali

Lisatavad failid

Teata veast

Teata siia ainult Opiqu veast. Palun kirjelda viga nii täpselt kui võimalik.

Kui ootad Opiqu meeskonnalt vastust, lisa oma kontaktandmed (e-post, telefon).

Tee linnuke, et aidata meil spämmiga võidelda

Opiq kasutab küpsiseid