Задание 537. Вопрос Андрея
Найдите ответ на этот вопрос с помощью числовой прямой.
Попробуем решить задачу 537 с помощью уравнения. Для этого обозначим координату искомой точки через x. По условиям задачи мы получим уравнение |3x – 6| = 9.
Полученное уравнение содержит неизвестное под знаком модуля. Такие уравнения называют кратко также уравнениями с модулями. Для их решения пользуются определением модуля:
Пример 1.
Решим уравнение |3x – 6| = 9. Согласно определению модуля, мы должны рассмотреть два случая:
- если 3x – 6 ≥ 0, т. е. если x ≥ 2,
- если 3x – 6 < 0, т. е. если x < 2.
Мы получили два промежутка (х ≥ 2 и х < 2) и в разных промежутках исходное уравнение принимает различный вид. Решим уравнение отдельно для каждого из промежутков.
В первом случае найденное значение х = –1 принадлежит рассматриваемому промежутку (х < 2), во втором случае найденное значение х = 5 также принадлежит соответствующему этому случаю промежутку. Поэтому оба значения являются корнями исходного уравнения.
Ответ: x1 = –1, x2 = 5.
Пример 2*.
Решим уравнение |x + 2| – |x| = x – 3.
Прежде всего, найдем все значения x, при которых выражения, стоящие под знаком модуля, изменяют свой знак. Для этого решим уравнения x + 2 = 0 и x = 0. Полученные точки x = –2 и x = 0 разбивают числовую прямую на три промежутка:
Ответ: x = 5.
Замечание. При разбиении числовой оси на промежутки несущественно, какому промежутку принадлежит точка деления. Так, в рассмотренном примере можно сделать и такое разбиение: 1) x ≤ –2; 2) –2 < x ≤ 0; 3) x > 0.
Пример 3.
Решим уравнение |x + 2| = –x графически. Для этого изобразим в одной и той же системе координат графики функций y = |x + 2| и y = –x.
На рисунке 4.8 графики этих функций пересекаются в точке с абсциссой x = –1. Проверка показывает, что это значение является корнем уравнения.
Ответ: x = –1.
Упражнения Б
Задание 538. Решение уравнений с модулями
Задание 539. Решение уравнений с модулями
Связь между квадратами чисел и модулями тех же чисел
Задание 540. Связь между квадратами чисел и модулями тех же чисел
- Что можно сказать о модулях чисел a и b, если a = b или a = –b? Справедливо ли обратное утверждение? Почему?
- Что можно сказать о квадратах чисел a и b, если a = b или a = –b? Справедливо ли обратное утверждение? Почему?
Подытоживая полученное в предыдущей задаче, можем записать:
⇔ a = b или a = –b и
a2 = b2 ⇔ a = b или a = –b. (1)
Отсюда, в свою очередь, получим, что
⇔ a2 = b2. (2)
Пример 4.
Решим уравнение |x + 1| = |2x – 5| двумя различными способами.
- Учитывая соотношение (1), получим:
x + 1 = 2x – 5 | или | x + 1 = –2x + 5 | т. е. | |
–x = –6 | или | 3x = 4. |
Таким образом, корни исходного уравнения и .
- В силу соотношения (2) получим:
(x + 1)2 = (2x – 5)2 или x2 + 2x + 1 = 4x2 – 20x + 25.
После упрощения получим квадратное уравнение 3x2 – 22x + 24 = 0, корнями которого являются также и .
Ответ: ; .
Пример 5.
Решим уравнение (2x + 3)2 = (x – 1)2.
Учитывая соотношение (2), получим, что 2x + 3 = x – 1, откуда по образцу предыдущего примера: 2x + 3 = –x + 1 или |2x + 3| = |x – 1|.
Отсюда найдем корни уравнения x1 = –4 и x2 = –0,(6).
Ответ: x1 = –4; x2 = –0,(6).
