Решение прямоугольных треугольников

Пример 1.

Найдем угол α, если cos α = 0,7065.

В зависимости от типа калькулятора вычисления пройдут, например, по схеме 0,7065 cos^–1 или по схеме cos^–1 0,7065 ENTER.

На экране появится угол в градусах 45,04915°, откуда по образцу примера 4 раздела 4.10 получим, что α ≈ 45°3′ или же α ≈ 45°2′57″.

Пример 2.

Решим прямоугольный треугольник, если его катеты a = 5,4 cм и b = 3,7 cм.

1. c=\sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{5,4^2+3,7^2} = \sqrt{42,85} ≈ 6,55 (cм);
2. \tan\mathrm{\alpha}=\frac{a}{b} = \frac{5,4}{3,7} ≈ 1,4595; α ≈ 55°35' или α ≈ 55°34'54'';
3. β ≈ 90° – 55°35' = 34°25' или β ≈ 90° – 55°34'54'' = 34°25'6''.

Ответ: c ≈ 6,55 см, α ≈ 55°35' или α ≈ 55°34'54'', β ≈ 34°25' ≈ 34°25'6''.

Пример 3.

Решим прямоугольный треугольник и найдем его площадь, если катет a = 60 дм и гипотенуза c = 61 дм.

1. b=\sqrt{61^2-60^2} = \sqrt{121} = 11 (дм);
2. sin α = 60 : 61 ≈ 0,9836; α ≈ 79°37', точнее α ≈ 79°36'40'';
3. β ≈ 90° – 79°37' = 10°23' или β ≈ 90° – 79°36'40'' = 10°23'20'';
4. S = 0,5ab = 0,5 · 60 · 11 = 330 (дм²).

Ответ: b = 11 дм, α ≈ 79°37' или α ≈ 79°36'40'', β ≈ 10°23' или β ≈ 10°23'20'', S = 330 дм².

Пример 4.

Чтобы измерить ширину водоема между точками A и B (рис. 4.19), на берегу отмечают так называемую базу. Пусть это будет отрезок CB = 100 м, перпендикулярный отрезку AB. Найдем ширину AB водоема, если γ = 80°.

Рис. 4.19

Решение. В прямоугольном треугольнике ABC дано, что CB = 100 м и γ = 80°.

Поэтому \tan\mathrm{\gamma}=\frac{AB}{CB}, откуда

AB=CB\cdot\tan\mathrm{\gamma} = 100 ⋅ tan 80° ≈ 567,1 (м).

Ответ: ширина водоема 567 м.

Пример 5.

Найдем площадь правильного девятиугольника, у которого радиус описанной окружности R = 25 cм.

Решение. Разобьем девятиугольник на равнобедренные треугольники, два из которых, ABO и BCO, изображены на рисунке 4.20. Угол при вершине такого треугольника α = 360° : 9 = 40°. Апофема DO = r девятиугольника является биссектрисой угла α.

Рис. 4.20

Так как площадь треугольника S = 9 ⋅ S_ΔBCO = 9\cdot\frac{BC\cdot r}{2}, то из треугольника DCO мы можем найти величины r и a = BC :

\sin\frac{\mathrm{\alpha}}{2}=DC\ :\ CO ⇒ \sin20°=\frac{a}{2\cdot25} ⇒ a = 50 ⋅ 0,3420 ≈ 17,10 см;

\cos\frac{\mathrm{\alpha}}{2}=\frac{r}{R} ⇒ r = 25 ⋅ cos 20° = 25 ⋅ 0,9397 ≈ 23,49 см.

Теперь получим:

S=9\cdot\frac{a\cdot r}{2} = 4,5 ⋅ 17,1 ⋅ 23,49 ≈ 1807,6 (см²).

Ответ: площадь девятиугольника 1807,6 см².

Пример 6.

Решим треугольник, в котором сторона c = 25 cм, а прилежащие к этой стороне углы α = 30° и β = 86°.

Решение. Проведем в треугольнике ABC высоту таким образом, чтобы один из двух возникающих при этом прямоугольных треугольников можно было бы решить. Для этого можно, к примеру, провести высоту h из вершины B (рис. 4.21).

Рис. 4.21

В прямоугольном треугольнике ABD найдем его катеты h и AD:

\sin\mathrm{\alpha}=\frac{h}{c} ⇒ h = c sin α = 25 ⋅ sin 30° = 12,5 (см);

\cos\mathrm{\alpha}=\frac{AD}{c} ⇒ AD = c cos α = 25 ⋅ cos 30° = 12,5\sqrt{3} ≈ 21,65 (см).

Из треугольника ABC найдем, что γ = 180° – (α + β) = 180° – 116° = 64°.

Из прямоугольного треугольника BCD получим:

\sin\mathrm{\gamma}=\frac{h}{a} ⇒ a = h : sin γ = 12,5 : sin 64° ≈ 13,91 (см);

\tan\mathrm{\gamma}=\frac{h}{DC} ⇒ DC = h : tan γ = 12,5 : tan 64° ≈ 6,10 (см).

Теперь: b = AD + DC ≈ 27,75 см.

Ответ: a ≈ 13,9 см, b ≈ 27,8 см, γ = 64°.

Пример 7.

Найдем углы ромба, если известно, что его площадь в два раза меньше площади квадрата, имеющего такой же периметр.

Рис. 4.22

Решение. Так как ромб и квадрат имеют равные периметры, то равны и их стороны. Обозначим сторону ромба буквой a. По условию задачи площади ромба и квадрата связаны равенством 2ha = a², откуда следует, что высота ромба h = 0,5a (рис. 4.22). Из прямоугольного треугольника, имеющегося на чертеже, получим sin α = h : a = 0,5. Следовательно, α = 30° и, так как α + β = 180°, то угол β = 150°.

Ответ: углы ромба 30° и 150°.