Соотношения между синусом, косинусом и тангенсом острого угла

  1. Найдем сначала соотношение между синусом и косинусом одного и того же угла α, т. е. между величинами sin α и cos α.

По теореме Пифагора

a2 + b2 = c2,

где a и b – катеты и с – гипотенуза прямоугольного треугольника. Разделив обе части этого равенства на c2, получим, что

\left(\frac{a}{c}\right)^2+\left(\frac{b}{c}\right)^2=1.

Так как

\frac{a}{c}=\sin\mathrm{\alpha} и \frac{b}{c}=\cos\mathrm{\alpha},

то

(sin α)2 + (cos α)2 = 1.

Пример 1.

Найдем cos 25°28′, зная, что sin 25°28′ = 0,4300.

Выразим из равенства (sin α)2 + (cos α)2 = 1 величину cos α. Получим, что

\cos\mathrm{\alpha}=\sqrt{1-\left(\sin\mathrm{\alpha}\right)^2}.

Поэтому

\cos25°28'=\sqrt{1-0,43^2}\approx0,9028.

Пример 2.

Упростим выражение \frac{\left(\cos\mathrm{\alpha}\right)^2}{1-\sin\mathrm{\alpha}}.

Решение. Так как (cos α)2 = 1 – (sin α)2, то

\frac{\left(\cos\mathrm{\alpha}\right)^2}{1-\sin\mathrm{\alpha}} = \frac{1-\left(\sin\mathrm{\alpha}\right)^2}{1-\sin\mathrm{\alpha}} = \frac{\left(1-\sin\mathrm{\alpha}\right)\left(1+\sin\mathrm{\alpha}\right)}{1-\sin\mathrm{\alpha}} = 1 + sin α.

Значит,

\frac{\left(\cos\mathrm{\alpha}\right)^2}{1-\sin\mathrm{\alpha}} = 1 + sin α.

Выражение (sin α)2 обозначает произведение sin α ⋅ sin α, а выражение (cos α)2 – произведение cos α ⋅ cos α. Записи (sin α)2 и (cos α)2 являются вполне понятными, однако пользоваться ими неудобно, особенно в более сложных выражениях. Чтобы несколько сократить и упростить записи этих выражений, в математике принято соглашение: вместо (sin α)2 пишут sin2 α (читается: синус квадрат альфа) и вместо (cos α)2 пишут cos2 α (косинус квадрат альфа). Аналогичный смысл имеют выражения sin3 α, cos4 α и т. п. Такими записями мы и будем пользоваться в дальнейшем.

Таким образом, соотношение (sin α)2 + (cos α)2 = 1 теперь можно записать в виде

sin2 α + cos2 α = 1.

  1. Сравним между собой равенства, которыми определяются синус, косинус и тангенс:

\sin\mathrm{\alpha}=\frac{a}{c}, \cos\mathrm{\alpha}=\frac{b}{c}, \tan\mathrm{\alpha}=\frac{a}{b}.

Очевидно, что

\frac{\sin\mathrm{\alpha}}{\cos\mathrm{\alpha}}=\frac{a}{c}:\frac{b}{c}=\frac{a}{b}=\tan\mathrm{\alpha}.

Полученная формула

tanα=sinαcosα

позволяет всегда найти одну из величин sin α, cos α и tan α, если две другие известны.

Пример 3.

Найдем tan α, если \sin\mathrm{\alpha}=\frac{4}{5}  и \cos\mathrm{\alpha}=\frac{3}{5}.

На основании только что выведенной формулы

\tan\mathrm{\alpha}=\frac{\sin\mathrm{\alpha}}{\cos\mathrm{\alpha}}=\frac{4}{5}:\frac{3}{5}=\frac{4}{3}.

Пример 4.

Найдем cos 66°25', если sin 66°25' = 0,9165 и tan 66°25' = 2,291.

Из формулы \tan\mathrm{\alpha}=\frac{\sin\mathrm{\alpha}}{\cos\mathrm{\alpha}} получим при наших данных, что

2,291=\frac{0,9165}{\cos66°25'}, откуда \cos66°25'=\frac{0,9165}{2,291}\approx0,4000.

Пример 5.

Упростим выражение sin α : tan2 α : cos2 α.

Преобразуем данное выражение следующим образом:

sin α : tan2 α : cos2 α = \frac{\sin\mathrm{\alpha}\cdot\cos^2\mathrm{\alpha}}{\sin^2\mathrm{\alpha}\cdot\cos^2\mathrm{\alpha}} = \frac{1}{\sin\mathrm{\alpha}}.

  1. Выведем теперь формулу, связывающую между собой тангенс и косинус угла:

1+\tan^2\mathrm{\alpha} = 1+\left(\frac{\sin\mathrm{\alpha}}{\cos\mathrm{\alpha}}\right)^2 = \frac{\cos^2\mathrm{\alpha}+\sin^2\mathrm{\alpha}}{\cos^{\mathrm{2}}\mathrm{\alpha}} = \frac{1}{\sin\mathrm{\alpha}}.

Значит,

1+tan2α=1cos2α.

Пример 6.

Упростим выражение (sin α + cos α)2 + (sin α − cos α)2 + 2 tan2 α.

Раскроем скобки и преобразуем данное выражение следующим образом:

sin2 α + 2sin α cos α + cos2 α + sin2 α – 2sin α cos α + cos2 α + 2 tan2 α = 2(sin2 α + cos2 α) + 2 tan2 α = 2(1 + tan2 α) = \frac{2}{\cos^2\mathrm{\alpha}}.

Формулы

sin2 α + cos2 α = 1, tanα=sinαcosα  и  1+tan2α=1cos2α

называются основными формулами тригонометрии.

Seotud sisu
Muud tegevused

Упражнения A

Задание 619. Соотношение между синусом и косинусом

sin2 70° + cos2 70° = 

sin2 28°52' + cos2 28°52' = 

–sin2 33° – cos2 33° = 

sin2 (90° – α) + cos2 (90° – α) = 

Задание 620. Соотношение между синусом и косинусом

sin α = 0,6

sin α = 0,12

cos α = 0,85

cos α = 

cos α = 

sin α = 

\sin\mathrm{\alpha}=\frac{20}{29}

\cos\mathrm{\alpha}=\frac{1}{3}

\cos\mathrm{\alpha}=\frac{3}{7}

cos α = 

sin α = 

sin α = 

sin α = 0,34

sin α = 0,8

cos α = 0,9

cos α = 

cos α = 

sin α = 

Задание 621. Вычисление значения выражения

 значение sin2 α – cos2 α, если cos α = 0,3.

Ответ: значение выражения равно .

значение cos2 α – sin2 α, если sin α = 0,6.

Ответ: значение выражения равно .

Задание 622. Упрощение выражений

1 – cos2 α = 

sin2 α – 1 = 

sin2 α – sin4 α = 

\cos^2\mathrm{\alpha}\cdot\left(1+\frac{\sin^2\mathrm{\alpha}}{\cos^2\mathrm{\alpha}}\right) = 

\frac{1-\cos^2\mathrm{\alpha}}{\sin\mathrm{\alpha}} = 

\frac{\cos^2\mathrm{\alpha}}{1-\sin\mathrm{\alpha}} = 

Задание 623. Упрощение выражения и вычисление его значения

sin2 29° + cos2 29° – cos2 32° + sin2 58° = 

1 – sin2 60° + cos2 30° – cos2 45° = 

Задание 624. Соотношения между синусом, косинусом и тангенсом

Ответ: cos 23°4' = .

Задание 625. Соотношения между синусом, косинусом и тангенсом

sin α

cos α

tan α

0,9

0,2

5

sin α

cos α

tan α

0,06

0,12

1,6

Задание 626. Упрощение выражений

sin α : tan α + cos α = 

\tan\mathrm{\alpha}-\frac{\sin^3\mathrm{\alpha}}{\cos\mathrm{\alpha}} = 

cos α tan α – sin α = 

\frac{\tan^2\mathrm{\alpha}}{1+\tan^2\mathrm{\alpha}} = 

Задание 627. Упрощение выражений

sin2 α (1 + tan2 α) = 

\frac{1}{1+\tan^2\mathrm{\alpha}}+\sin^2\mathrm{\alpha} = 

(1 + tan2 α) sin2 α + 1 = 

cos2 α (1 + tan2 α) = 

\tan\mathrm{\alpha}+\frac{\cos\mathrm{\alpha}}{\sin\mathrm{\alpha}} = 

sin (90° – α) : tan (90° – α) + sin α = 

Seotud sisu
Muud tegevused

Упражнения Б

Задание 628. Упрощение выражения и вычисление его значения

\sin^212°+\sin^278°-\sin^219°\cdot\frac{\sin71°}{\cos19°} = 

Задание 629. Упрощение выражения

sin α – cos α + sin2 α cos α – cos2 α sin α = 

1 – cos4 α – cos2 α sin2 α – cos2 α = 

Задание 630. Доказательство тождества

cos3 α sin α + sin3 α cos α = sin α cos α

1 – cos2 α – sin2 α = 0

sin4 α – cos4 α = 1 – 2 cos2 α

(cos2 α – sin2 α)(1 – sin2 α cos2 α) = cos6 α – sin6 α

\frac{\sin\mathrm{\alpha}}{1-\cos\mathrm{\alpha}}-\frac{1+\cos\mathrm{\alpha}}{\sin\mathrm{\alpha}}=0

\frac{1-\sin\mathrm{\alpha}}{1+\cos\mathrm{\alpha}}:\frac{1-\cos\mathrm{\alpha}}{1+\sin\mathrm{\alpha}}=\frac{\cos^2\mathrm{\alpha}}{\sin^2\mathrm{\alpha}}

Задание 631. Соотношение между синусом и косинусом

\sin\mathrm{\alpha}=\frac{n-1}{n+1} и n > 1

Ответ: cos α = 

\cos\mathrm{\alpha}=\frac{m}{m+2} и m > 0

Ответ: sin α = 

Задание 632. Упрощение выражений

\frac{1}{\left(1+\tan^2\mathrm{\alpha}\right)\tan\left(90°-\mathrm{\alpha}\right)} = 

\frac{\cos\mathrm{\alpha}}{1+\sin\mathrm{\alpha}}+\tan\mathrm{\alpha} = 

\frac{1-\tan^2\mathrm{\alpha}}{1+\tan^2\mathrm{\alpha}} = 

\left(1-\frac{\sin\mathrm{\alpha}}{\cos\mathrm{\alpha}}\right)^2+\left(1+\tan\mathrm{\alpha}\right)^2 = 

\left(1+\tan\mathrm{\alpha}\right)^2\cos^2\mathrm{\alpha}-1 = 

\left(\tan\mathrm{\alpha}+\frac{1}{\tan\mathrm{\alpha}}\right)^2-\left(\tan\mathrm{\alpha}-\frac{1}{\tan\mathrm{\alpha}}\right)^2 = 

Задание 633. Соотношения между синусом, косинусом и тангенсом
  1. tan α только через sin α;

    Ответ: tan α = .
  2. tan α только через cos α;

    Ответ: tan α = .
  3. sin α только через tan α;

    Ответ: sin α = .
  4. cos α только через tan α.

    Ответ: cos α = .
Seotud sisu
Muud tegevused