Значения тригонометрических функций некоторых углов

Найдем синус, косинус и тангенс для углов 0°, 90°, 180°, 270° и 360°. Эти углы изображены на рисунке 5.21. На конечной стороне каждого угла выбрана некоторая точка M. Рисунок 5.21а изображает как угол 0°, так и угол 360°.

Как мы уже знаем,

\sin\mathrm{\alpha}=\frac{y}{OM}; \cos\mathrm{\alpha}=\frac{x}{OM} и \tan\mathrm{\alpha}=\frac{\sin\mathrm{\alpha}}{\cos\mathrm{\alpha}}.

В случае углов 0° и 360° (рис. 5.21a) получим, что OM = x. Поэтому

\sin0\degree=\sin360\degree=\frac{0}{x}=0, \cos0\degree=\cos360\degree=\frac{x}{x}=1, \tan0\degree=\tan360\degree=0.

Рис. 5.21

Для угла 90° получим OM = y (рис. 5.21b). Поэтому

\sin90\degree=\frac{y}{y}=1, \cos90\degree=\frac{0}{y}=0.

Значения tan 90° не существует, так как деление на 0 невозможно.

В случае угла 180° получим, что OM = |x| = –x, так как х < 0 (рис. 5.21с). Поэтому

\sin180\degree=\frac{0}{-x}=0, \cos180\degree=\frac{x}{-x}=-1, \tan180\degree=\frac{0}{-1}=0.

Для угла 270° (рис. 5.21d) получим: OM = |y| = –y. Следовательно,

\sin270\degree=\frac{y}{-y}=-1, \cos270\degree=\frac{0}{-y}=0, значения tan 270° не существует.

Так как \cot\mathrm{\alpha}=\frac{1}{\tan\mathrm{\alpha}} или \cot\mathrm{\alpha}=\frac{\cos\mathrm{\alpha}}{\sin\mathrm{\alpha}}, то cot 0° не существует, cot 180° не существует, cot 360° не существует, cot 90° = cot 270° = 0.

Seotud sisu
Muud tegevused

Упражнения A

Задание 685. Вычисление значения выражения

\frac{\sin30\degree}{\cos60\degree}+\frac{\cos30\degree}{\tan45\degree}-2\cos60\degree=  = 

\frac{\sin30\degree}{\cos60\degree}+\frac{\cos30\degree}{\tan45\degree}+2\cos60\degree=  = 

sin 90° ⋅ cos 90° + cos 180° ⋅ tan 60° + sin 270° =  = 

Задание 686. Катет прямоугольного треугольника

Ответ: b = .

Задание 687. Острый угол прямоугольного треугольника

Найдите угол β прямоугольного треугольника, если его катеты b=\frac{2\sqrt{3}}{5} и a = 0,4.

Ответ: β = °.

Задание 688. Острые углы прямоугольного треугольника

Найдите острые углы прямоугольного треугольника, катет которого a=2\sqrt{2} и гипотенуза c = 4.

Ответ: α = °, β = °.

Seotud sisu
Muud tegevused

Упражнения Б

Задание 689. Вычисление значения выражения

\frac{\tan30°\cdot\left(-\tan60°\right)-\sin45°\cdot\cos45°-\sin360°}{\tan30°\cdot\cos30°+\tan60°\cdot\cos30°} =  = 

\sin0°+\tan45°\cdot\sin90°-\cos180°\cdot\cos60°+\sin60°\cdot\tan60°\cdot\sin270° =  = 

\frac{-\sin60°\cdot\cos30°\cdot\tan30°\cdot\tan60°-\cos45°}{\sin45°\cdot\cos30°-\cos60°\cdot\sin45°\cdot\tan60°} =  = 

\tan45°\cot90°+\cot30°\cot60°-\sin270°\cos180° =  = 

\cot60°\sin45°-\sin60°\tan30°-\sqrt{2}\cot30° =  = 

\sin360°+\tan405°\sin1170°-\cos\left(-540°\right)\cos\left(-300\right)-\sin390° =  = 

\cot30°\sin\left(-660°\right)+\sin\left(-810°\right)\cot1470°\tan765° =  = 

Seotud sisu
Muud tegevused