Формулами приведения в тригонометрии называют формулы, позволяющие сводить вычисление значений тригонометрических функций любого угла к случаю острого угла, а также приводить вычисление значений таких функций при отрицательном угле к случаю положительного угла.
Вычисление значений тригонометрических функций для углов II, III и IV четвертей можно свести к случаю острого угла с помощью следующего общего правила:
если угол второй четверти записать в виде 180° – α,
угол третьей четверти в виде – 180° + α и
угол четвертой четверти в виде 360° – α,
где α – острый угол, то значение тригонометрической функции одного из этих углов равно значению той же функции для угла α, взятому с тем же знаком („+” или „–”), что имеет эта тригонометрическая функция в той четверти, которой принадлежит первоначальный угол.
Пример 1.
По только что сформулированному правилу для вычисления cos (180° + α) нужно вычислить cos α, однако его нужно взять со знаком „-”, так как в третьей четверти (угол 180° + α) косинус отрицателен. Таким образом, cos (180° + α) = – cos α.
Аналoгично, sin (180° – α) = sin α, так как во второй четверти (угол 180° – α) синус принимает положительные значения. Все по тому же правилу получим, что tan (360° – α) = – tan α (в IV четверти тангенс отрицателен).
Рассмотренное правило справедливо и для вычисления котангенса:
cot (180° – α) = –cot α, cot (180° + α) = cot α, cot (360° – α) = –cot α.
Пример 2.
Найдем: 1) sin 210°, 2) cos 300°, 3) tan 138°.
- Приведем вычисление sin 210° к нахождению синуса угла I четверти. Так как 210° = 180° + 30° (общий вид 180° + α), то первоначальный угол III четверти, и соответствующее значение синуса отрицательно::
sin 210° = sin (180° + 30°) = –sin 30° = –0,5 .
- Поскольку 300° = 360° – 60°, то найти нужно косинус угла IV четверти. Так как в этой четверти косинус положителен, то
cos 300° = cos (360° – 60°) = cos 60° = 0,5.
- Во второй четверти (138° = 180° – 42°) тангенс отрицателен. Значит,
tan 138° = tan (180° – 42°) = –tan 42° = –0,9004.
Пример 3.
Вычислим cot 128°15'.
cot 128°15' = cot (180° – 51°45') = –cot 51°45'.
Если у калькулятора нет клавиши котангенса, то найдем это значение с помощью тангенса:
–cot 51°45' =
Ответ: –cot 51°45' = –0,7883.
Чтобы доказать упомянутое выше правило, которым мы уже воспользовались в примерах 1–3, нужно вывести соответствующие формулы приведения для каждого из углов 180° – α, 180° – α, 360° – α, причем отдельно для каждой тригонометрической функции (синуса, косинуса, тангенса и котангенса), и убедиться, что данное правило согласуется с этими формулами.
В качестве примера рассмотрим, как выводятся формулы приведения для углов третьей четверти (рис. 5.22a). Соответствующие формулы для углов второй и четвертой четверти Вы можете вывести самостоятельно с помощью рисунков 5.22b и 5.22c.
 Рис. 5.22a |
||||||
 Рис. 5.22b |
||||||
 Рис. 5.22c |
||||||
Представим угол β III четверти (рис. 5.22a) в виде β = 180° + α, где α – острый угол. Изобразим угол β на координатной плоскости и здесь же отметим угол α. Возьмем некоторую точку M(x; y) на конечной стороне угла β и обозначим OM = r. Построим в I четверти угол α, конечная сторона которого лежит на той же прямой, что и конечная сторона OM угла β. Выберем на конечной стороне угла α такую точку N, что ON = OM = r. Тогда N(–x; –y), и мы получим:
Из первого и последнего равенств следует, что
sin β = –sin α, или sin (180° + α) = –sin α.
Таким образом, мы получили формулу приведения для синуса угла III четверти. Аналогично:
,
или cos (180° + α) = –cos α.
,
или tan (180° + α) = tan α.
Нетрудно убедиться, что все три полученные формулы приведения подтверждают приведенное выше правило. ♦
До сих пор мы предполагали, что в выражениях 180° – α, 180° + α, 360° – α угол α является острым, т. е. 0° < α < 90°. Можно доказать, что формулы приведения справедливы и в тех случаях, когда α не является острым углом.
Пример 4.
Приведем вычисление tan 400° к вычислению тангенса острого угла (т. е. угла I четверти).
Решение. Поскольку tan (α + k ⋅ 360°) = tan α, то
tan 400° = tan (40° + 360°) = tan 40°.
Этот результат можно получить и по-другому. Применим формулы приведения, взяв вместо острого угла α тупой угол, и убедимся, что получится тот же результат:
tan 400° = tan (180° + 220°) = tan 220°.
В данном случае α = 220°, однако, применяя формулы формально, т. е. считая угол 180° + α углом III четверти, мы и получим tan 220°. Преобразуем теперь последнюю величину таким образом, чтобы углом α был действительно острый угол:
tan 220° = tan (180° + 40°) = tan 40°.
Значит, и в том случае, когда на промежуточной стадии в качестве α был взят не острый угол, применение формулы приводит к тому же результату, что и раньше.
Зная формулы приведения, мы можем по данному значению тригонометрической функции найти соответствующий угол, лежащий в определенной четверти.
Пример 5.
Найдем наименьший положительный угол x, для которого cos x = –0,8988.
Решение. Искомый угол x должен, очевидно, лежать во II четверти. Представим этот угол x в виде 180° – α, где 0° < α < 90°. Тогда равенство cos x = –0,8988 запишется в виде cos (180° – α) = – 0,8988, откуда –cos α = –0,8988, т. е. cos α = 0,8988. С помощью калькулятора или таблиц тригонометрических функций найдем, что α = 25°59'57''.
Следовательно, x = 180° – 25°59'57'' = 154°3''.
Ответ: x = 154°3''.
Мы уже знаем следующие формулы:
sin (α + k ⋅ 360°) = sin α,
cos (α + k ⋅ 360°) = cos α,
tan (α + k ⋅ 360°) = tan α,
cot (α + k ⋅ 360°) = cot α.
С помощью этих формул вычисление значений тригонометрических функций для углов, бóльших 360°, а также для отрицательных углов, можно приводить к вычислению значений этих функций для положительных углов, меньших 360°.
Пример 6.
Вычислим cos (–5005°).
Решение. Получим: −5005° = 35° − 14 · 360°. Следовательно,
cos (–5005°) = cos (35° – 14 · 360°) = cos 35° = 0,8192.
Ответ: cos (–5005°) = 0,8192.
Если в рассмотренных формулах поменять местами правую и левую части, например,
sin α = sin (α + k · 360°),
то их можно истолковать следующим образом: значение тригонометрической функции не изменится, если к заданному углу прибавить кратное угла 360°. Поэтому пример 6 можно решить и следующим образом:
cos (–5005°) = cos (–5005° + 14 · 360°) = cos 35° = 0,8192.
Пример 7.
Вычислим sin (–300°).
Для этого прибавим к данному углу 360° и получим, что
sin (–300°) = sin (–300° + 360°) = sin 60° =
Докажем, что при любом n ∈ Z выполнено соотношение
tan (α + n · 180°) = tan α.
Докажем эту формулу отдельно для случаев четного и нечетного n.
Если n = 2k, то
tan (α + n · 180°) = tan (α + 2k · 180°) = tan (α + k · 360°) = tan α.
Если n = 2k + 1, то
tan (α + n · 180°) = tan (α + (2k + 1) · 180°) = tan (α + 180° + k · 360°) = tan (α + 180°) = tan α. ♦
Пример 8.
Вычислим tan 600°.
Решение. Поскольку 600° = 60° + 3 · 180°, то
tan 600° = tan (60° + 3 · 180°) = tan 60° =
Упражнения A
Задание 690. Вычисление точных значений синуса, косинуса и тангенса
Задание 691. Вычисление значений синуса, косинуса и тангенса
Упражнения Б
Задание 692. Вычисление точных значений синуса, косинуса и тангенса
Задание 693. Вычисление значений синуса, косинуса и тангенса
Задание 694. Вычисление значений синуса, косинуса и тангенса
Задание 695. Упрощение выражений
Задание 696. Нахождение наименьшего положительного угла второй четверти
Задание 697. Нахождение наименьшего положительного угла третьей четверти
Задание 698. Нахождение наименьшего положительного угла четвертой четверти
Задание 699. Тригонометрические функции углов II и IV четверти
Задание 700. Доказательство
Задание 701. Тангенс третьего угла треугольника
Ответ: тангенс третьего угла равен
Задание 702. Упрощение выражения
Задание 703. Значения sin α, cos α и tan α
sin α | –0,8 | ||
cos α | 0,25 | ||
tan α | –3,873 |
Задание 704. Значения sin α, cos α и tan α
sin α | –0,49 | ||
cos α | –0,604 | ||
tan α | 7 |
