Как мы уже знаем, для каждого действительного числа x (радианной меры угла) существует в точности одно значение sin x. Обозначим это значение буквой y, т. е. y = sin x. Рассматривая величину х как переменную, мы получаем, что равенство y = sin x каждому действительному числу х ставит в соответствие число у, другими словами, это равенство определяет функцию, которая называется функцией синус. Значения х называются также значениями аргумента, а соответствующие значения y = sin x – значениями функции синус.
Рассмотрим график функции синус. Известное нам равенство sin (α + k · 360°) = sin α можно записать и в виде sin (x + n · 2π) = sin x, где n ∈ Z. Следовательно, значения sin x повторяются через каждый промежуток длиной 2π. Поэтому график функции y = sin x достаточно построить только на некотором отрезке длиной 2π, например, на отрезке [0; 2π], а затем продолжить его («скопировать») на протяжении всей числовой оси. На отрезке [0; 2π] график функции можно построить по отдельным точкам, пользуясь при вычислениях калькулятором. Конечно, гораздо проще задать построение графика компьютеру. В результате получается линия (рис. 5.25), которая называется синусоидой.
Дуги OBD и DFH синусоиды равны (рис. 5.26), так как OD = DH = π и для значений аргумента x, π – x, π + x и 2π – x, взятых на одинаковых расстояниях от точек O, D и H, соответствующие точки графика находятся на одинаковых расстояниях от оси абсцисс. В самом деле, этими расстояниями являются модули соответствующих значений у, в данном случае это числа
Каждая дуга синусоиды, опирающаяся на ось Ох, имеет ось симметрии. Действительно, например, для дуги OBD осью симметрии является прямая, проведенная через точку В перпендикулярно оси Ох. Каждой точке A(x; sin x) на дуге OBD соответствует симметричная точка C(π – x; sin (π – x)), или C(π – x; sin x).
Поскольку значения функции синус повторяются через один и тот же промежуток длиной 2π, то говорят, что функция синус является периодической с периодом 2π.
С помощью графика можно описать свойства функции синус.
- Наименьшее значение функции синус равно –1, а наибольшим значением является 1, т. е. −1 ≤ sin x ≤ 1. Эти значения повторяются через каждые 2π (как в положительном, так и в отрицательном направлении оси Ох), начиная, например, со значения аргумента
x=-\frac{\pi}{2} и соответственно со значенияx=\frac{\pi}{2} . - График функции синус пересекает ось Ох через каждые π, начиная со значения аргумента x = 0, т. е. в точках x = np, где n ∈ Z. Эти точки являются нулями функции синус, поскольку в этих точках sin x = 0.
С помощью графика функции синус можно решать многие из тех задач, которые мы ранее решали с помощью вычислений.
Пример 1.
Выясним, положительным или отрицательным является данное значение функции синус 1) sin 3, 2)
- Так как 0 < 3 < π и на графике видно, что в интервале (0; π) значения y функции синус положительны, то и sin 3 > 0;
\sin\frac{6\pi}{5}<0 , поскольку угол\frac{6\pi}{5} принадлежит интервалу (π; 2π), в котором график функции y = sin x расположен ниже оси Ох, т. е. значения функции отрицательны;- sin (−0,8) < 0, так как значение х = –0,8 принадлежит интервалу (−π; 0), в котором значения функции синус отрицательны.
Пример 2.
Выясним, какое значение больше: 1) sin (−1,2π) или sin 6; 2) sin 0,8 или sin 1,3?
- sin (−1,2π) > sin 6, так как на графике функции синус видно, что sin (−1,2π) > 0, a sin 6 < 0;
- sin 1,3 > sin 0,8, поскольку точка графика функции синус, соответствующая значению x = 1,3, расположена выше (значение функции больше) точки графика, соответствующей значению x = 0,8.
Упражнения A
Задание 731. Нахождение значения функции
Задание 732. Функция синус
sin 1 0
sin (–6) 0
sin 4 0
sin 0 0
Задание 733. Функция синус
sin 6 или sin 7 | Меньше значение . |
sin (–1,5π) или sin (–1,9π) | Меньше значение . |
sin 3 или sin 4 | Меньше значение . |
