Функция y = tan x

Функцией тангенс называется функция, определенная равенством y = tan x, где x –действительное число (радианная мера угла), причем x\ne\left(2k+1\right)\cdot\frac{\pi}{2}, где k ∈ Z. Ограничение x\ne\left(2k+1\right)\cdot\frac{\pi}{2}, k ∈ Z вызвано тем, что в исключаемых точках значения тангенса не существуют, т. е. график функции тангенс имеет разрывы при значениях х

…, -\frac{3\pi}{2}, -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}, …

Как мы знаем, tan (α + n ⋅ 180°) = tan α, или tan (x + n ⋅ π) = tan x (n ∈ Z), где х – величина угла α в радианах. Отсюда следует, что значения функции тангенс повторяются через каждые π единиц. Значит, функция тангенс является периодической с периодом π.

Учитывая сказанное, мы можем построить график функции тангенс на промежутке длиной π, например, в интервале \left(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right), а затем продолжить этот график на всю область определения. В результате мы получим тангенсоиду, которая изображена на рисунке 5.28. Особенностью тангенсоиды является то, что при приближении значений аргумента х к точкам \left(2k+1\right)\cdot\frac{\pi}{2}, k ∈ Z, график функции неограниченно приближается к прямым, перпендикулярным оси Ох (на рисунке они изображены пунктиром), никогда не пересекая этих прямых.

График функции тангенс позволяет описать свойства этой функции.

1. Функция тангенс не имеет ни наименьшего, ни наибольшего значений, причем эта функция принимает все возможные действительные значения: −∞ < tan x < +∞.
2. Нули функции тангенс (т. е. точки, или значения х, при которых tan x = 0) повторяются через каждый промежуток длиной π и в общем виде выражаются как x = nπ, n ∈ Z.