Длина дуги окружности

Пример 1.

На рисунке 5.29 изображена ременная передача. Приводной ремень прилегает к большому колесу вдоль дуги   AB ⏜ MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVCI8FfYJH8YrFfeuY=Hhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbb a9q8WqFfeaY=biLkVcLq=JHqpepeea0=as0Fb9pgeaYRXxe9vr0=vr 0=vqpWqaaeaabiGaciaacaqabeaadaqaaqaaaOqaamaaIaaabaGaam yqaiaadkeaaiaawkYiaaaa@3879@ , которой соответствует центральный угол α = 200°. Найдем длину той части ремня, которая прилегает к дуге AB ⏜ MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVCI8FfYJH8YrFfeuY=Hhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbb a9q8WqFfeaY=biLkVcLq=JHqpepeea0=as0Fb9pgeaYRXxe9vr0=vr 0=vqpWqaaeaabiGaciaacaqabeaadaqaaqaaaOqaamaaIaaabaGaam yqaiaadkeaaiaawkYiaaaa@3879@ , если рaдиус колеса R = 45 см.

Рис. 5.29

Длина окружности равна 2πR и полный угол составляет 360°. Поэтому центральному углу в 1° соответствует дуга \frac{2\pi R}{360}, или \frac{\pi R}{180}, а центральному углу в 200° – дуга 200\cdot\frac{\pi R}{180}=\frac{10\pi R}{9}.

Так как R = 45 см, то длина дуги  AB ⏜ MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVCI8FfYJH8YrFfeuY=Hhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbb a9q8WqFfeaY=biLkVcLq=JHqpepeea0=as0Fb9pgeaYRXxe9vr0=vr 0=vqpWqaaeaabiGaciaacaqabeaadaqaaqaaaOqaamaaIaaabaGaam yqaiaadkeaaiaawkYiaaaa@3879@ равна \frac{10\pi45}{9}=50\pi\ \mathrm{\left(см\right)}\approx157,1\ \mathrm{см}.

Выясним теперь, как вычислить длину дуги, если соответствующий ей центральный угол выражен в радианах.

Пусть радиус рассматриваемой дуги равен r, и этой дуге соответствует центральный угол в x радиан. Поскольку центральному углу в 1 радиан соответствует дуга длиной r, то центральному углу в x радиан соответствует дуга длиной xr.

Следовательно, искомая длина дуги l выражается равенством

l = xr.

Пример 2.

Если радиус окружности равен 5 cм и соответствующий дуге центральный угол равен 2,8 рад, то длина этой дуги равна 2,8 · 5 = 14 (см).

Seotud sisu
Muud tegevused

Упражнения A

Задание 740. Длина дуги окружности

Ответ: центральному углу в 1° соответствует дуга длиной  мм, а центральному углу в 1' – дуга длиной   мм.

Задание 741. Длина дуги окружности

Центральный угол

Длина дуги

46°

 см

105°

 см

54°12'

 см

200°

 см

36''

 см

400°

 см

Задание 742. Длина дуги окружности

Радиус

4 см

500 м

40 см

100 м

360 м

Длина дуги

 см

 м

 см

 м

 м

Задание 743. Теннисный мячик

α = 2°

С расстояния в м

α = 1°

С расстояния в м

α = 1'

С расстояния в м

α = 0,1 рад

С расстояния в см

α = 0,001π рад

С расстояния в м

Задание 744. Расстояние, пройденное Луной

Центральный угол

1°

1'

1''

Пройденное Луной расстояние

 км

 км

 км

Сравните длину дуги, соответствующей центральному углу в 1°, с диаметром Луны, равным 3476 км.

Задание 745. Космонавт Юрий Гагарин
Рис. 5.30

Ответ: наибольшее расстояние на земной поверхности, которое мог наблюдать Юрий Гагарин, составляло  км.

Задание 746. Новая и прежняя дороги
Рис. 5.31

Ответ: новая дорога сокращает путь на  м.

Seotud sisu
Muud tegevused

Упражнения Б

Задание 747. Длина приводного ремня

Ответ: длина приводного ремня равна  см, а расстояние между осями колес –   см.

Задание 748. Длина приводного ремня

Ответ: длина приводного ремня равна  см.

Задание 749. Шкив электромотора

Ответ: угловая скорость этого шкива равна  рад/с.

Задание 750. Наждачный круг

Ответ: наждачный круг делает  об/мин.

Задание 751. Колесо автомобиля

Ответ: это колесо делает за минуту  оборотов, а его угловая скорость вращения равна  рад/с.

Задание 752. Угловая скорость

Ответ: меньшее колесо делает  оборотов в минуту. Угловая скорость большего колеса равна  рад/мин, а угловая скорость меньшего –   рад/мин.

Seotud sisu
Muud tegevused