Если известны две стороны треугольника и угол между ними, то этими данными треугольник определяется однозначно, однако с помощью теоремы синусов решить треугольник при этих данных невозможно.
В этом случае пользуются теоремой косинусов:
квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон без удвоенного произведения тех же сторон на косинус угла между ними, т. е.
a2 = b2 + c2 – 2bc cos α,
b2 = a2 + c2 – 2ac cos β,
c2 = a2 + b2 – 2ab cos γ.
Докажем теорему косинусов в виде сотношения a2 = b2 + c2 – 2bc cos α.
Докажем, что это равенство справедливо как в случае острого угла α (ΔABC, рис. 5.45) так и в случае тупого угла α (ΔABC, рис. 5.46). Проведем в обоих случаях из вершины В треугольника высоту h и обозначим длину отрезка AD буквой k.
1. Пусть угол α – острый.
 Рис. 5.45 | ||||||
В прямоугольном треугольнике CDB выполнены равенства CD = CA − DA = b – k и по теореме Пифагора получим, что
a2 = (b – k)2 + h2,
откуда
a2 = b2 − 2bk + k2 + h2.
Так как в треугольнике ABD выполнено равенство k2 + h2 = c2, то
a2 = b2 − 2bk + c2.
Из треугольника ABD получим, что k = c cos α. Подставив найденное выражение для k в предыдущее равенство, получим, что a2 = b2 + c2 – 2bc cos α.
2. Докажем теперь нашу теорему для случая, когда α – тупой угол (рис. 5.46).
 Рис. 5.46 | ||||||
Из прямоугольного треугольника CDB получим, что a2 = (b + k)2 + h2, или
a2 = b2 + 2bk + k2 + h2.
Поскольку k2 + h2 = c2 (ΔABD), то
a2 = b2 + 2bk + c2.
Из того же треугольника получим:
k = c cos α', или k = c cos (180° – α) = −c cos α.
Подставив найденное выражение k, мы получаем доказываемое равенство, т. е.
a2 = b2 + c2 – 2bc cos α.
Аналогично можно доказать справедливость равенств b2 = a2 + c2 –2ac cos β и c2 = a2 + b2 – 2ab cos γ. ♦
Пример 1.
Решим треугольник, если b = 4 см, c = 15 см и α = 57°.
- Найдем сторону a:
a^2=b^2+c^2-2bc\cos\mathrm{\alpha} =4^2+15^2-2\cdot4\cdot15\cdot\cos57°\approx175,6 ⇒a\approx13,3\ \mathrm{см} ; \frac{a}{\sin\mathrm{\alpha}}=\frac{b}{\sin\mathrm{\beta}} ⇒\frac{13,3}{\sin57\degree}=\frac{4}{\sin\mathrm{\beta}} ⇒\sin\mathrm{\beta}=\frac{4\cdot\sin57\degree}{13,3}=\frac{4\cdot0,8387}{13,3}\approx0,2531 ⇒\mathrm{\beta}=14°39'45'' ;\mathrm{\gamma}=180°-\left(\mathrm{\alpha}+\mathrm{\beta}\right) =180°-(57°+14°39'45'')=108°20'15'' .
Ответ: a = 13,3 см, β = 14°39'45'', γ = 108°20'15''.
Если при решении треугольника требуется найти два угла, как это было в предыдущем примере, то сначала нужно найти меньший угол (в примере это был угол β, так как он соответствует меньшей стороне), а затем второй угол как разность между 180° и суммой двух уже известных углов (в примере это был угол γ), так как этот угол может быть тупым, и таким способом его легче всего найти.
Этим способом рекомендуется пользоваться и в том случае, когда нужно найти все три угла.
Пример 2.
Решим треугольник, если даны его стороны a = 8 см, b = 10 см, c = 16 см.
Решение. Учитывая сделанные выше замечания, найдем сначала меньшие углы, т. е. углы α и β.
- Из соотношения a2 = b2 + c2 – 2bc cos α получим, что 2bc cos α = b2 + c2 – a2, откуда
\cos\mathrm{\alpha}=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc} =\frac{10^2+16^2-8^2}{2\cdot10\cdot16}=0,9125 ⇒\mathrm{\alpha}\approx24°8'49'' . - Угол β найдем по теореме синусов:
\frac{a}{\sin\mathrm{\alpha}}=\frac{b}{\sin\mathrm{\beta}} ⇒\frac{8}{\sin24°8'49''}=\frac{10}{\sin\mathrm{\beta}} ⇒\sin\mathrm{\beta}=\frac{10\cdot\sin24°8'49''}{8}\approx\frac{10\cdot0,4091}{8}\approx0,5114 ⇒\mathrm{\beta}\approx30°45'13'' . \mathrm{\gamma}=180°-\left(\mathrm{\alpha}+\mathrm{\beta}\right) =180°-(24°8'49''+30°45'13'')=125°5'58'' .
Ответ: α = 24°8'49'', β = 30°45'13'', γ =125°5'58''.
Упражнения A
Задание 781. Решение треугольника
Задание 782. Диагонали параллелограмма
Ответ: диагонали параллелограмма равны
Задание 783. Расстояние от поселка до станции
Ответ: расстояние от поселка А до станции равно км.
