Координаты середины отрезка

Как мы знаем, координата середины отрезка числовой прямой равна среднему арифметическому координат его концов:

x=\frac{x_1+x_2}{2}.

Выясним, как найти координаты середины отрезка на координатной плоскости, если даны координаты его концов.

Рис. 6.13

Пусть концами отрезка являются точки A(x1; y1) и B(x2; y2). Обозначим координаты середины C этого отрезка через x и y. Спроецируем все три точки на ось Ох (рис. 6.13). В результате получим точки A', C', B'. Пусть М – точка пересечения прямой АВ с осью абсцисс. Мы получили угол BMB', стороны которого пересечены параллельными прямыми \left(A'A\ \parallel\ C'C\ \parallel\ B'B\right), которые, как известно, отсекают на сторонах угла пропорциональные отрезки. Поэтому

\frac{AC}{A'C'}=\frac{CB}{C'B'}.

Так как AC = CB, то и A'C' = C'B'. Следовательно, точка C'(x) на числовой оси Ох является серединой отрезка с концами A'(x1) и B'(x2). Поэтому координата точки С выражается равенством

x=\frac{x_1+x_2}{2}.

Аналогично можно показать (проецируя точки А, B и C на ось Оy), что

y=\frac{y_1+y_2}{2}. ♦

Таким образом,

координатами середины отрезка, расположенного на координатной плоскости, являются средние арифметические соответствующих одноименных координат концов этого отрезка,

т. е.

Cx1 + x22; y1 + y22.

Пример.

Найдем координаты середины отрезка с концами A(6; 5) и B(2; −2). Согласно только что полученным формулам, искомые координаты середины отрезка равны:

x=\frac{6+2}{2}=4 и y=\frac{5-2}{2}=1,5.

Ответ: серединой отрезка является точка (4; 1,5).

Seotud sisu
Muud tegevused

Упражнения A

Задание 876. Середина отрезка

Концы

Середина отрезка

A(5; 8), B(3; –2)

(; )

M(–4; 0), N(6; –12)

(; )

P(–7; 4), Q(7; –9)

(; )

R(–6; 7), O(0; 0)

(; )

Задание 877. Концы средней линии треугольника

Ответ: концами средней линии, параллельной стороне AC, являются точки  и .

Задание 878. Концы средней линии трапеции

Ответ: концами средней линии трапеции являются точки  и .

Задание 879. Координаты другого конца отрезка

Ответ: второй конец отрезка есть точка с координатами (; ).

Задание 880. Неизвестные вершины параллелограмма

Ответ: C(; ) и D(; ).

Задание 881. Деление отрезка на четыре равные части

Ответ: этими точками (начиная от точки A) являются ,  и .

Seotud sisu
Muud tegevused