Длина отрезка

Выведем формулу для вычисления длины отрезка, иначе говоря, расстояния между двумя точками, если известны координаты концов отрезка.

Рис. 6.14

Пусть концами отрезка являются точки A(x1; y1) и B(x2; y2). Спроецируем эти точки как на ось абсцисс, так и на ось ординат (рис. 6.14), в результате чего получим прямоугольный треугольник ABC (при других расположениях отрезка AB на координатной плоскости (см. рис. 6.15) для построения прямоугольного треугольника АВС нужно продолжить прямые). В этом прямоугольном треугольнике (рис. 6.14 и 6.15):

 AC=\left|y_2-y_1\right| и BC=\left|x_2-x_1\right|,

так как длина отрезка числовой оси выражается как модуль разности координат соответствующих точек.

Рис. 6.15

Обозначив расстояние между точками A и B (или длину отрезка АВ) буквой d, получим из прямоугольного треугольника равенство

d^2=\left|x_2-x_1\right|^2+\left|y_2-y_1\right|^2,

или

d^2=\left(x_2-x_1\right)^2+\left(y_2-y_1\right)^2.

Так как расстояние является неотрицательным числом, то

d=x2-x12+y2-y12.

Пример 1.

Длина отрезка AB, где A(−5; 3) и B(7; −1), равна

AB = \sqrt{\left(7-\left(-5\right)\right)^2+\left(-1-3\right)^2} = \sqrt{12^2+4^2} = \sqrt{160} = 4\sqrt{10}.

Пример 2.

Расстояние между точками A(c; k) и B(−c; k) равно

d=\sqrt{\left(c+c\right)^2+\left(k-k\right)^2}=\sqrt{4c^2}=2\left|c\right|.

Seotud sisu
Muud tegevused

Упражнения A

Задание 882. Длина отрезка

Концы отрезка

Длина отрезка

A(5; –5), B(–3; 1)

d = 

E(2; 6), F(2; 2)

d = 

P(–1; 0), Q(0; 7)

d = 

K(1,2; 5), L(8,5; –4)

d = 

Концы отрезка

Длина отрезка

C(–10; 8), D(–7; 4)

d = 

M(0; 8), N(0; –9)

d = 

R(0; 0), S(9; –2)

d = 

G(0,8; –1), H(2,6; –1)

d = 

Задание 883. Длина отрезка

A(a; b), B(a; –b)
d = 

H(a; b), K(b; a)
d = 

O\left(0;\ 0\right), L(m; n)
d = 

C(a; b), D(a + b; b – 8)
d = 

M(a, b), N(a + c; b + c)
d = 

S\left(0;\ a\right), T\left(a;\ 0\right)
d = 

Задание 884. Периметр треугольника и длина его средней линии

Ответ: периметр треугольника равен  и его средняя линия равна .

Задание 885. Периметр трапеции и длина ее средней линии

Ответ: периметр трапеции равен  и ее средняя линия равна .

Задание 886. Прямоугольный треугольник

  • Найдите середины его сторон.
    Ответ: серединой стороны KL является точка , серединой стороны KM – точка  и серединой стороны LM – точка .
  • Является ли прямоугольным треугольник с вершинами в серединах сторон исходного треугольника?
  • Да
  • Нет
Задание 887. Лежат ли точки на одной прямой?

A(0; 4), B(–1; –1), C(2; 14)

Ответ: данные точки  на одной.

A(–1; 0), B(4; 5k), C(0; k)

Ответ: данные точки  на одной прямой,

Seotud sisu
Muud tegevused

Упражнения Б

Задание 888. Площадь треугольника

Ответ: S =  ед. площади.

  • Найдите середины сторон этого треугольника.
    Ответ: координаты середины стороны AB есть(; ), координаты середины стороны BC есть koordinaadid on (; ) и координаты середины стороны AC есть (; ).
  • Найдите площадь треугольника с вершинами в серединах сторон треугольника АВС.
    Ответ: S1 =  ед. площади.
  • Сколько процентов составляет площадь второго треугольника от площади треугольника ABC?
    Ответ: эта площадь составляет % от площади треугольника ABC.

Задание 889. Диагонали четырехугольника

Задание 890. Параллелограмм или даже прямоугольник?

Ответ: этот четырехугольник является ;  = .

Задание 891. Вид треугольника

Ответ: треугольник является  . S =  ед. площади.

Задание 892. Точка, равноудаленная от данных точек

Ответ: координаты этой точки есть (; ).

Задание 893. Центр и радиус окружности

Окружность проходит через точки A\left(16;\ 12\right), B\left(-5;\ 5\sqrt{15}\right) иC\left(10;\ -10\sqrt{3}\right). Найдите центр и радиус этой окружности.

Ответ: координаты центра окружности есть ; r = .

Задание 894. Центр и радиус окружности

Ответ: координаты центра окружости есть ; r = .

Seotud sisu
Muud tegevused