Координаты вектора

Как мы уже знаем, на координатной плоскости любой вектор \vec{v} можно единственным образом выразить через единичные векторы \vec{i} и \vec{j}. На рисунке 6.42 \vec{v}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{A_1B_1}+\overrightarrow{A_2C_2}=X\vec{i}+Y\vec{j}. Значит,

\vec{v} = X \vec{i} + Y \vec{j}

Рис. 6.42

Числа X и Y называются координатами вектора \vec{v} в рассматриваемой системе координат. Это записывается следующим образом:

\vec{v} = (X; Y)

Пример 1.

Если \vec{v}=9\vec{i}-6\vec{j}, то координатами вектора \vec{v} будут 9 и –6, и можно записать:\vec{v}=\left(9;\ -6\right).

Составляющими вектора \vec{v}=\left(X;\ Y\right), на осях Оx и Оy являются соответственно векторы \overrightarrow{A_1B_1}=X\vec{i} и \overrightarrow{A_2C_2}=Y\vec{j} (рис. 6.42). При этом A_1B_1=\left|X\right| и A_2C_2=\left|Y\right|. Из треугольника ABD (рис. 6.42) находим по теореме Пифагора, что \left|\vec{v}\right| = \sqrt{AB^2+BD^2} = \sqrt{\left|X\right|^2+\left|Y\right|^2} или

|\vec{v}| = \sqrt{X^{2} + Y^{2}}

Значит,

длина вектора равна корню квадратному из суммы квадратов его координат.

Пример 2.

Если \vec{v}=\left(9;\ -6\right), то длина этого вектора\left|\vec{v}\right| = \sqrt{9^2+\left(-6\right)^2} = \sqrt{81+36} = \sqrt{117} ≈ 10,8.

Рис. 6.43

Вектор \overrightarrow{OM} (рис. 6.43), называется радиус-вектором точки M.

Если M(a; b), то $\vec{O M} = (a; b)$ .

Действительно, \overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=a\vec{i}+b\vec{j}, т. е. \overrightarrow{OM}=\left(a;\ b\right).

Пример 3. Например, если M(2,07; –5,3), то \overrightarrow{OM}=\left(2,07;\ -5,3\right).

Очевидно, что

\vec{i} = (1; 0)

\vec{j} = (0; 1)

Рис. 6.44

Рассмотрим единичный вектор \vec{e}, расположенный в первой четверти и исходящий из начала координат (рис. 6.44). Тогда OP=\left|\vec{e}\right|=1, и из прямоугольного треугольника OPQ мы получаем, что OQ = cos α и QP = sin α. Следовательно, P(cos α; sin α) и \vec{e}=\left(\cos\mathrm{\alpha};\ \sin\mathrm{\alpha}\right). Значит,

если единичный вектор $\vec{e}$ образует с положительным направлением оси Ох oстрый угол α, то $\vec{e} = (\cos α; \sin α)$ , или $\vec{e} = \cos α \cdot \vec{i} + \sin α \cdot \vec{j}$ .

Сказанное справедливо и в том случае, когда единичный вектор \vec{e} расположен в какой-то другой четверти.

Координаты нулевого вектора равны нулю, т. е. $\vec{0} = (0; 0)$ .

Докажем последнее утверждение. Пусть \vec{0}=\left(a;\ b\right). Тогда \left|\vec{0}\right|=0 , т. е. a^2+b^2=0. Сумма двух неотрицательных чисел может быть нулем только в том случае, когда оба слагаемых равны нулю, значит, a^2=b^2=0, откуда a=0, b=0.Единичные векторы координатных осей \vec{i} и \vec{j} вместе с началом координат O однозначно определяют прямоугольную систему координат.

Пример 4. Например, на рисунке 6.46 точка B имеет координаты (2; 1), а вектор \vec{b} имеет координаты (3; −2).

Seotud sisu

Упражнения A

Задание 934. Координаты вектора

$\vec{p} = - 3 \vec{i} + 5 \vec{j}$	$\vec{q} = 8 \vec{i}$	$\vec{r} = - 4 \vec{j}$
\vec{p} = (; )	\vec{q} = (; )	\vec{r} = (; )

Задание 935. Координаты вектора

Выразите следующие векторы через единичные векторы \vec{i} и \vec{j}.

\vec{a}=\left(4;\ 5\right)	\vec{a} =
\vec{b}=\left(-8;\ 7\right)	\vec{b} =
\vec{c}=\left(1;\ -1\right)	\vec{c} =
\vec{u}=\left(7;\ 0\right)	\vec{u} =
\vec{v}=\left(0;\ -3\right)	\vec{v} =
\vec{u}=\left(2,86;\ 4\right)	\vec{u} =

Задание 936. Координаты вектора

Рис. 6.45

\vec{a} = (; )

\vec{b} = (; )

\vec{c} = (; )

\vec{d} = (; )

\vec{f} = (; )

Рис. 6.45

\vec{g} = (; )

\vec{h} = (; )

\vec{k} = (; )

\vec{m} = (; )

\vec{n} = (; )

Рис. 6.45

\vec{p} = (; )

\vec{r} = (; )

\vec{s} = (; )

\vec{t} = (; )

\vec{v} = (; )

Задание 937. Построение вектора

Начертите вектор \vec{a}=\left(4;\ -1\right), взяв в качестве его начала точку:

O\left(0;\ 0\right)

A\left(1;\ 2\right)

B\left(-2;\ 3\right)

Задание 938. Длина вектора

Вектор	Длина вектора
\vec{a}=\left(4;\ 5\right)
\vec{b}=\left(-8;\ 7\right)
\vec{c}=\left(1;\ -1\right)
\vec{u}=\left(7;\ 0\right)
\vec{v}=\left(0;\ -3\right)
\vec{u}=\left(2,86;\ 4\right)

Задание 939. Координаты вектора и координаты конца вектора

Назовите координаты конца каждого из векторов \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} и \vec{v} на рисунке 6.45. Найдите координаты этих векторов.

Рис. 6.45

Вектор	Координаты конца	Координаты вектора
\vec{a}	(; )	(; )
\vec{b}	(; )	(; )
\vec{c}	(; )	(; )
\vec{v}	(; )	(; )

Задание 940. Координаты точек и векторов

Рис. 6.46

A(; )	B(; )
C(; )	D(; )
E(; )	F(; )
\vec{a} = (; )	\vec{b} = (; )
\vec{c} = (; )	\vec{d} = (; )

Seotud sisu

Упражнения Б

Задание 941. Правильный шестиугольник

Найдите координаты векторов \overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB}, \overrightarrow{OC}, \overrightarrow{OD}, \overrightarrow{OE} если A(0; 1).

Рис. 6.47

\overrightarrow{OA} =

\overrightarrow{OB} =

\overrightarrow{OC} =

\overrightarrow{OD} =

\overrightarrow{OE} =

Какие из этих векторов являются единичными векторами?

$\vec{O A}$
$\vec{O B}$
$\vec{O C}$
$\vec{O D}$
$\vec{O E}$

Seotud sisu

Opiqus edenemine

	Tööd
	Peatükk on läbi töötatud

Координаты вектора

Seotud sisu

Упражнения A

Задание 934. Координаты вектора

Задание 935. Координаты вектора

Задание 936. Координаты вектора

Задание 937. Построение вектора

Задание 938. Длина вектора

Задание 939. Координаты вектора и координаты конца вектора

Задание 940. Координаты точек и векторов

Seotud sisu

Упражнения Б

Задание 941. Правильный шестиугольник

Seotud sisu

Lisa materjali

Lisatavad failid

Teata veast

Teata siia ainult Opiqu veast. Palun kirjelda viga nii täpselt kui võimalik.

Kui ootad Opiqu meeskonnalt vastust, lisa oma kontaktandmed (e-post, telefon).

Tee linnuke, et aidata meil spämmiga võidelda

Opiq kasutab küpsiseid