Свойства скалярного произведения векторов

Как известно, умножение чисел подчиняется следующим законам:

закон коммутативности: ab = ba;
закон ассоциативности: a(bc) = (ab)c;
закон дистрибутивности: a(b + c) = ab + ac.

Покажем, что подобные законы справедливы и для скалярного произведения векторов.

1. Скалярное произведение коммутативно, т. е.

$\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$

Доказательство. \vec{a}\cdot\vec{b} = \left|\vec{a}\right|\cdot\left|\vec{b}\right|\cdot\cos\varphi = \left|\vec{b}\right|\cdot\left|\vec{a}\right|\cdot\cos\varphi = \vec{b}\cdot\vec{a}.

2. Скалярное произведение ассоциативно относительно умножения на число, т. е. $k (\vec{a} \cdot \vec{b}) = (k \vec{a}) \cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot (k \vec{b})$ .

Доказательство. Рассмотрим отдельно три случая: k>0, k>0, k=0.

Если k>0, то \left|k\right|=k и k\cdot\left|\vec{a}\right|=\left|k\vec{a}\right|, откуда

k\left(\vec{a}\cdot\vec{b}\right) = k\cdot\left|\vec{a}\right|\cdot\left|\vec{b}\right|\cdot\cos\varphi = \left|k\vec{a}\right|\cdot\left|\vec{b}\right|\cdot\cos\varphi = \left(k\vec{a}\right)\cdot\vec{b}.В силу коммутативности скалярного произведения и по только что доказанному соотношению мы можем записать:\left(k\vec{a}\right)\cdot\vec{b} = k\left(\vec{a}\cdot\vec{b}\right) = k\left(\vec{b}\cdot\vec{a}\right) = \left(k\vec{b}\right)\cdot\vec{a} = \vec{a}\cdot\left(k\vec{b}\right).Поэтому k\left(\vec{a}\cdot\vec{b}\right) = \left(k\vec{a}\right)\cdot\vec{b} = \vec{a}\cdot\left(k\vec{b}\right).

Рис. 6.54

Если k>0 (рис. 6.54), то \left|k\right|=-k и k\cdot\left|\vec{a}\right|=\left|k\vec{a}\right|. Отсюда получим:

k\left(\vec{a}\cdot\vec{b}\right) = k\cdot\left|\vec{a}\right|\cdot\left|\vec{b}\right|\cdot\cos\varphi = -\left|k\vec{a}\right|\cdot\left|\vec{b}\right|\cdot\cos\varphi = \left|k\vec{a}\right|\cdot\left|\vec{b}\right|\cdot\left(-\cos\varphi\right) = \left|k\vec{a}\right|\cdot\left|\vec{b}\right|\cdot\cos\left(180°-\varphi\right).

Так как угол α = 180° – φ, является углом между векторами k\vec{a} и \vec{b} (рис. 6.54), то

\left|k\vec{a}\right|\cdot\left|\vec{b}\right|\cdot\cos\left(180°-\varphi\right) = \left(k\vec{a}\right)\cdot\vec{b}, откуда k\left(\vec{a}\cdot\vec{b}\right) = \left(k\vec{a}\right)\cdot\vec{b}.Остальная часть утверждения обосновывается аналогично случаю k>0.

Если k=0, то очевидно, что

k\left(\vec{a}\cdot\vec{b}\right) = \left(k\vec{a}\right)\cdot\vec{b} = \vec{a}\cdot\left(k\vec{b}\right) = 0,и поэтому доказываемое утверждение справедливо и в этом случае. ♦

3. Скалярное произведение дистрибутивно относительно сложения векторов, т. е. $\vec{a} \cdot (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c}$ .

Справедливость этого утверждения мы примем без доказательства.

Пример 1.

Найдем \vec{a}\cdot\left(\vec{a}+\vec{b}\right), если векторы \vec{a} и \vec{b} взаимно перпендикулярны.Решение. \vec{a}\cdot\left(\vec{a}+\vec{b}\right) = \vec{a}\cdot\vec{a}+\vec{a}\cdot\vec{b} = \vec{a}^2+0 = \left|\vec{a}\right|^2.

Пример 2. Найдем \left(\vec{a}+\vec{b}\right)^2, если \left|\vec{a}\right|=2, \left|\vec{b}\right|=3 и φ = 60°.Решение. На основании трех рассмотренных свойств скалярного произведения при нахождении скалярного квадрата \left(\vec{a}+\vec{b}\right)^2 можно раскрыть скобки так же, как и в случае действий с числами. = \vec{a}^2+2\cdot\vec{a}\cdot\vec{b}+\vec{b}^2 = \left|\vec{a}\right|^2+2\cdot\left|\vec{a}\right|\cdot\left|\vec{b}\right|\cdot\cos\varphi+\left|\vec{b}\right|^2 == 2^2+2\cdot2\cdot3\cdot\cos60°+3^2 = 13+12\cdot0,5 = 19.

Seotud sisu

Упражнения A

Задание 971. Свойства скалярного произведения

Вычислите скалярные произведения, если \left|\vec{u}\right|=4, \left|\vec{v}\right|=3 и угол между векторами\vec{u} и \vec{v} равен 60°.

\vec{v}\cdot\left(\vec{u}+\vec{v}\right) =

\vec{u}\cdot\left(\vec{v}-\vec{v}\right) =

\vec{u}^2+\vec{v}^2 =

\vec{u}\cdot\left(2\vec{v}-\vec{v}\right) =

Вычислите скалярные произведения, если \left|\vec{u}\right|=4, \left|\vec{v}\right|=3 и угол между векторами \vec{u} и \vec{v} равен 60°.

\left(\vec{u}-\vec{v}\right)^2 =

3\vec{u}\cdot\left(\vec{u}+2\vec{v}\right) =

\left(\vec{u}-\vec{v}\right)\cdot\left(\vec{u}+\vec{v}\right) =

\left(\vec{u}\cdot\vec{v}\right)^2 =

Задание 972. Свойства скалярного произведения

\left(\vec{i}-\vec{j}\right)\cdot\left(\vec{i}+\vec{j}\right) =

\vec{j}\cdot\left(\vec{i}+\vec{j}\right)+\vec{i}\cdot\left(\vec{j}-\vec{i}\right) =

\left(2\vec{i}-\vec{j}\right)\cdot\vec{j}+\vec{i}\cdot\vec{j} =

\left(\vec{i}+\vec{j}\right)^2-\left(\vec{j}-\vec{i}\right)^2 =

Задание 973. Свойства скалярного произведения

Найдите \vec{a}\cdot\vec{b}.

\vec{a}=3\vec{i} и \vec{b}=-2\vec{j}\vec{a}\cdot\vec{b} =

\vec{a}=-\vec{i} и \vec{b}=7\vec{j}\vec{a}\cdot\vec{b} =

\vec{a}=2\vec{i}+4\vec{j} и \vec{b}=4\vec{j}\vec{a}\cdot\vec{b} =

Найдите \vec{a}\cdot\vec{b}.

\vec{a}=4\vec{i}-5\vec{j} и \vec{b}=-\vec{i}+2\vec{j}\vec{a}\cdot\vec{b} =

\vec{a}=-2\vec{i}+3\vec{j} и \vec{b}=6\vec{i}+4\vec{j}\vec{a}\cdot\vec{b} =

\vec{a}=6\vec{i}-9\vec{j} и \vec{b}=\vec{0}\vec{a}\cdot\vec{b} =

Задание 974. Перпендикулярность векторов

$\vec{a} = 3 \vec{i}$ и $\vec{b} = -2 \vec{j}$
$\vec{a} = 4 \vec{i} - 5 \vec{j}$ и $\vec{b} = - \vec{i} + 2 \vec{j}$
$\vec{a} = - \vec{i}$ и $\vec{b} = 7 \vec{j}$
$\vec{a} = - 2 \vec{i} + 3 \vec{j}$ и $\vec{b} = 6 \vec{i} + 4 \vec{j}$
$\vec{a} = 2 \vec{i} + 4 \vec{j}$ и $\vec{b} = 4 \vec{j}$
$\vec{a} = 6 \vec{i} - 9 \vec{j}$ и $\vec{b} = \vec{0}$

Задание 975. Свойства скалярного произведения

Вычислите \left(\vec{a}+\vec{b}\right)\cdot2\vec{a}+\vec{b}\cdot\left(3\vec{a}-\vec{b}\right), если векторы \vec{a} и \vec{b} являются единичными векторами и угол между ними равен 135°.

\left(\vec{a}+\vec{b}\right)\cdot2\vec{a}+\vec{b}\cdot\left(3\vec{a}-\vec{b}\right) = =

Задание 976. Свойства скалярного произведения

Вычислите \left(\vec{a}-2\vec{b}\right)\cdot3\vec{b}+\vec{b}\cdot\left(\vec{a}+\vec{b}\right), если \left|\vec{a}\right|=1, \left|\vec{b}\right|=4 и угол между векторами \vec{a} и \vec{b} равен 57°19'.

\left(\vec{a}-2\vec{b}\right)\cdot3\vec{b}+\vec{b}\cdot\left(\vec{a}+\vec{b}\right) = =

Задание 977. Угол между векторами

\left|\vec{a}\right|=5, \left|\vec{b}\right|=8, \vec{a}\cdot\vec{b}=20
φ =

\left|\vec{p}\right|=12, \left|\vec{q}\right|=0,5, \vec{p}\cdot\vec{q}=3\sqrt{3}
φ =

\left|\vec{u}\right|=1, \left|\vec{v}\right|=9, \vec{u}\cdot\vec{v}=-9
φ =

\left|\vec{s}\right|=8, \left|\vec{t}\right|=4, \vec{s}\cdot\vec{t}=19,2
φ =

Seotud sisu

Opiqus edenemine

	Tööd
	Peatükk on läbi töötatud

Свойства скалярного произведения векторов

Seotud sisu

Упражнения A

Задание 971. Свойства скалярного произведения

Задание 972. Свойства скалярного произведения

Задание 973. Свойства скалярного произведения

Задание 974. Перпендикулярность векторов

Задание 975. Свойства скалярного произведения

Задание 976. Свойства скалярного произведения

Задание 977. Угол между векторами

Seotud sisu

Lisa materjali

Lisatavad failid

Teata veast

Teata siia ainult Opiqu veast. Palun kirjelda viga nii täpselt kui võimalik.

Kui ootad Opiqu meeskonnalt vastust, lisa oma kontaktandmed (e-post, telefon).

Tee linnuke, et aidata meil spämmiga võidelda

Opiq kasutab küpsiseid