Выражение скалярного произведения через координаты векторов

Единичные векторы \vec{i} и \vec{j} координатных осей взаимно перпендикулярны, следовательно:\vec{i}\cdot\vec{i}=\vec{i}^2=1, \vec{j}\cdot\vec{j}=\vec{j}^2=1, \vec{i}\cdot\vec{j}=\vec{j}\cdot\vec{i}=0.Пользуясь свойствами скалярного произведения векторов, выразим произведение \vec{a}\cdot\vec{b}, если векторы заданы своими координатами, т. е. \vec{a}=\left(X_1;\ Y_1\right), \vec{b}=\left(X_2;\ Y_2\right):\vec{a}\cdot\vec{b} = \left(X_1\vec{i}+Y_1\vec{j}\right)\cdot\left(X_2\vec{i}+Y_2\vec{j}\right) = X_1X_2\vec{i}\cdot\vec{i}+X_1Y_2\vec{i}\cdot\vec{j}+Y_1X_2\vec{j}\cdot\vec{i}+Y_1Y_2\vec{j}\cdot\vec{j} = X_1X_2+Y_1Y_2. ♦

Если $\vec{a} = (X_{1}; Y_{1})$ и $\vec{b} = (X_{2}; Y_{2})$ , то $\vec{a} \cdot \vec{b} = X_{1} X_{2} + Y_{1} Y_{2}$ .

В словесной формулировке:

Скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений соответствующих координат этих векторов.

Пример 1.

Если \vec{a}=\left(-7;\ 6\right) и \vec{b}=\left(2;\ -3\right), то \vec{a}\cdot\vec{b} = \left(-7\right)\cdot2+6\cdot\left(-3\right) = -14-18 = -32.

Выразим из определения скалярного произведения\vec{a}\cdot\vec{b}=\left|\vec{a}\right|\cdot\left|\vec{b}\right|\cdot\cos\varphiвеличину cos φ:

cos φ = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}

Заменив имеющиеся в этой формуле величины \vec{a}\cdot\vec{b}, \left|\vec{a}\right|, \left|\vec{b}\right| на соответствующие координатные выражения, мы получим формулу:

cos φ = \frac{X_{1} X_{2} + Y_{1} Y_{2}}{\sqrt{X_{1}^{2} + Y_{1}^{2}} \cdot \sqrt{X_{2}^{2} + Y_{2}^{2}}}

позволяющую вычислять угол между векторами.

Пример 2.

Найдем угол φ между векторами \vec{a}=\left(5;\ -7\right) и \vec{b}=\left(-3;\ -1\right).Решение. На основании формулы для вычисления cos φ получим:\cos\varphi = \frac{5\cdot\left(-3\right)+\left(-7\right)\cdot\left(-1\right)}{\sqrt{5^2+\left(-7\right)^2}\cdot\sqrt{\left(-3\right)^2+\left(-1\right)^2}} = \frac{-8}{\sqrt{74}\cdot\sqrt{10}} = -0,2941.Так как \cos\varphi<0, то φ – угол второй четверти и потому будем искать его в виде \varphi=180°-\mathrm{\alpha}. Тогда\cos\left(180°-\mathrm{\alpha}\right)=-0,2941 ⇒ \cos\mathrm{\alpha}=0,2941 ⇒ \mathrm{\alpha}=72°53'47'' и\varphi=180°-\mathrm{\alpha}=107°6'13''.Ответ: угол между векторами равен 107°6'13''.

Пусть \vec{e}=\left(a;\ b\right) – некоторый единичный вектор. Тогда\left|\vec{e}\right|=1, т. е. \sqrt{a^2+b^2}=1, или a^2+b^2=1.

joon. 6.55

Найдем произведение \vec{e}\cdot\vec{i} (рис. 6.55). Поскольку \vec{i}=\left(1;\ 0\right), то \vec{e}\cdot\vec{i}=a\cdot1+b\cdot0=a. По определению скалярного произведения векторов \vec{e}\cdot\vec{i}=\left|\vec{e}\right|\cdot\left|\vec{i}\right|\cdot\cos\mathrm{\alpha}. Следовательно, a=\cos\mathrm{\alpha}. Имеем также \cos^2\mathrm{\alpha}+b^2=1, откуда b^2=\sin^2\mathrm{\alpha}. Так как синус угла имеет тот же знак, что и ордината любой точки, взятой на конечной стороне угла, то b=\sin\mathrm{\alpha}. ♦

Таким образом,

\vec{e} = (cos α; sin α)

т. е. координатами единичного вектора являются косинус и синус угла, который этот вектор образует с положительным направлением оси абсцисс.

Пример 3.

Если единичный вектор \vec{e} образует с положительным направлением оси Ох угол α = 241°49', то координатами этого вектора являются соответственно cos 241°49' = –0,4723 и sin 241°49' = –0,8814.Значит, \vec{e}=\left(-0,4723;\ -0,8814\right).

Пример 4. Найдем угол между единичным вектором \vec{a}=\left(-0,9959;\ 0,0904\right) и положительным направлением оси Оx. Если за начало вектора \vec{a} взять начало координат О, то вектор \vec{a} расположится на конечной стороне угла α. Поскольку cos α = –0,9959 < 0 и sin α = 0,0904 > 0, то α – угол II четверти: α = 174°49'.

Seotud sisu

Упражнения A

Задание 978. Скалярное произведение векторов

\vec{a}=\left(3;\ -4\right) и \vec{b}=\left(0;\ -5\right)\vec{a}\cdot\vec{b} =

\vec{r}=\left(0;\ 8\right) и \vec{s}=\left(0;\ -1\right)\vec{r}\cdot\vec{s} =

\vec{m}=\left(-10;\ -11\right) и \vec{n}=\left(1;\ 1\right)\vec{m}\cdot\vec{n} =

\vec{u}=\left(-3;\ 5\right) и \vec{v}=\left(0;\ 5\right)\vec{u}\cdot\vec{v} =

\vec{c}=\left(1;\ -3\right) и \vec{d}=\left(1;\ -3\right)\vec{c}\cdot\vec{d} =

\vec{x}=\left(4;\ 0\right) и \vec{y}=\left(-5;\ 7\right)\vec{x}\cdot\vec{y} =

\vec{g}=\left(0;\ 8\right) и \vec{h}=\left(5;\ 0\right)\vec{g}\cdot\vec{h} =

\vec{k}=\left(6;\ -9\right) и \vec{r}=\left(6;\ 4\right)\vec{k}\cdot\vec{r} =

\vec{p}=\left(0,8;\ -0,6\right) и \vec{q}=\left(0,96;\ 0,28\right)\vec{p}\cdot\vec{q} =

Задание 979. Перпендикулярность векторов

$\vec{a} = (3; - 4)$ и $\vec{b} = (0; - 5)$
$\vec{r} = (0; 8)$ и $\vec{s} = (0; - 1)$
$\vec{m} = (-10; -11)$ и $\vec{n} = (1; 1)$
$\vec{u} = (-3; 5)$ и $\vec{v} = (0; 5)$
$\vec{c} = (1; -3)$ и $\vec{d} = (1; -3)$
$\vec{x} = (4; 0)$ и $\vec{y} = (-5; 7)$
$\vec{g} = (0; 8)$ и $\vec{h} = (5; 0)$
$\vec{k} = (6; -9)$ и $\vec{r} = (6; 4)$
$\vec{p} = (0,8; -0,6)$ и $\vec{q} = (0,96; 0,28)$

Задание 980. Перпендикулярность векторов

\vec{a}=\left(-3;\ -5\right) и \vec{b}=\left(-15;\ p\right)

Ответ: p =

\vec{s}=\left(4;\ 2\right) и \vec{t}=\left(-1;\ y\right)

Ответ: y =

\vec{p}=\left(-9;\ k\right) и \vec{q}=\left(4;\ k\right)

Ответ: k = или k =

\vec{u}=\left(m;\ -8\right) и \vec{v}=\left(6;\ -5\right)

Ответ: m =

\vec{c}=\left(1;\ 1\right) и \vec{d}=\left(u;\ 1\right)

Ответ: u =

\vec{k}=\left(a;\ 5\right) и \vec{n}=\left(0;\ -2\right)

Ответ:

Задание 981. Угол между векторами

\vec{a}=\left(3;\ -4\right) и \vec{b}=\left(0;\ -5\right)
φ =

\vec{r}=\left(0;\ 8\right) и \vec{s}=\left(0;\ -1\right)
φ =

\vec{m}=\left(-10;\ -11\right) и \vec{n}=\left(1;\ 1\right)
φ =

\vec{u}==\left(-3;\ 5\right) и \vec{v}=\left(0;\ 5\right)
φ =

\vec{c}=\left(1;\ -3\right) и \vec{d}=\left(1;\ -3\right)
φ =

\vec{x}=\left(4;\ 0\right) и \vec{y}=\left(-5;\ 7\right)
φ =

\vec{g}=\left(0;\ 8\right) и \vec{h}=\left(5;\ 0\right)
φ =

\vec{k}=\left(6;\ -9\right) и \vec{r}=\left(6;\ 4\right)
φ =

\vec{p}=\left(0,8;\ -0,6\right) и \vec{q}=\left(0,96;\ 0,28\right)
φ =

Seotud sisu

Упражнения Б

Задание 982. Координаты единичного вектора

Единичный вектор \vec{e} образует с положительным направлением оси Ох угол α. Найдите координаты этого вектора.

α = 30°	α = 270°	α = 45°	α = 180°
\vec{e} =	\vec{e} =	\vec{e} =	\vec{e} =

Единичный вектор \vec{e} образует с положительным направлением оси Ох угол α. Найдите координаты этого вектора.

α = 90°	α = 0°	α = 21°6'	α = 47°
\vec{e} =	\vec{e} =	\vec{e} =	\vec{e} =

Единичный вектор \vec{e} образует с положительным направлением оси Ох угол α. Найдите координаты этого вектора.

α = 99°	α = 104°29'	α = 178°30'	α = 1°2'3''
\vec{e} =	\vec{e} =	\vec{e} =	\vec{e} =

Задание 983. Угол между единичным вектором и положительным направлением оси Ох

\vec{e}=\left(0,6;\ 0,8\right)
α =

\vec{t}=\left(0,96;\ 0,28\right)
α =

\vec{v}=\left(-0,72;\ 0,694\right)
α =

\vec{s}=\left(-0,6;\ 0,8\right)
α =

\vec{u}=\left(0,96;\ -0,28\right)
α =

\vec{r}=\left(-1;\ 0\right)
α =

Seotud sisu

Opiqus edenemine

	Tööd
	Peatükk on läbi töötatud

Выражение скалярного произведения через координаты векторов

Seotud sisu

Упражнения A

Задание 978. Скалярное произведение векторов

Задание 979. Перпендикулярность векторов

Задание 980. Перпендикулярность векторов

Задание 981. Угол между векторами

Seotud sisu

Упражнения Б

Задание 982. Координаты единичного вектора

Задание 983. Угол между единичным вектором и положительным направлением оси Ох

Seotud sisu

Lisa materjali

Lisatavad failid

Teata veast

Teata siia ainult Opiqu veast. Palun kirjelda viga nii täpselt kui võimalik.

Kui ootad Opiqu meeskonnalt vastust, lisa oma kontaktandmed (e-post, telefon).

Tee linnuke, et aidata meil spämmiga võidelda

Opiq kasutab küpsiseid