Степень с дробным показателем

Курс „Числовые множества. Выражения. Уравнения и неравенства”

Определяя понятие степени, мы обобщали его шаг за шагом, рассматривая в качестве показателя степени:

положительные натуральные числа;

число 0;

отрицательные целые числа.

Но что понимают под степенью с дробным показателем?

${(3^{\frac{1}{2}})}^{2}$ =	${(2^{\frac{1}{3}})}^{3}$ =	${(a^{\frac{1}{3}})}^{3}$ =	${(a^{\frac{1}{n}})}^{n}$ =
${(\sqrt{3})}^{2}$ =	${(\sqrt[3]{2})}^{3}$ =	${(\sqrt[3]{a})}^{3}$ =	${(\sqrt[n]{a})}^{n}$ =

Каким корнем можно заменить степень

a^{\frac{1}{n}}

(

a \geq 0

;

n \in N

n > 1

Ответ: степень $a^{\frac{1}{n}}$ должна обозначать корень -й степени.

Пользуясь формулой ${(\sqrt[n]{a})}^{m} = \sqrt[n]{a^{m}}$ и результатом, полученным в задании 82, сформулируем правило вычисления степени $a^{\frac{m}{n}}$ .

a^{\frac{m}{n}}=\left(a^{\frac{1}{n}}\right)^m=\left(\sqrt[n]{a}\right)^m=\sqrt[n]{a^m}.Подытоживая результаты, полученные при решении предыдущего задания, мы можем теперь определить степень с дробным показателем так:

a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^{m}}

(

a \in R^{+}

m \in Z

n \in N

n > 1

Примеры.

$3^{\frac{1}{2}} = \sqrt{3}$
$\sqrt[3]{13} = 13^{\frac{1}{3}}$
${(\frac{2}{3})}^{\frac{3}{2}} = \sqrt{{(\frac{2}{3})}^{3}} = \frac{2}{3} \sqrt{\frac{2}{3}}$

$\sqrt[5]{{(\frac{8}{9})}^{2}} = {(\frac{8}{9})}^{\frac{2}{5}}$
$2^{- \frac{3}{4}} = 2^{\frac{- 3}{4}} = \sqrt[4]{\frac{1}{2^{3}}} = \sqrt[4]{\frac{1}{8}}$
$\sqrt[4]{5^{- 3}} = 5^{\frac{- 3}{4}} = 5^{- \frac{3}{4}}$

$3^{2,5} = 3^{2 + 0,5} = 3^{2} \cdot 3^{0,5} = 9 \cdot 3^{\frac{1}{2}} = 9 \sqrt{3}$

$2^{\frac{1}{2}}$ =

3^{- \frac{3}{4}}

{1,5}^{1 \frac{1}{2}}

{3,5}^{- 0,75}

2^{3,5}

π^{0,125}

3^{\frac{2}{3}}

2^{- \frac{5}{2}}

{1,5}^{- 2,4}

\sqrt[3]{2}

\sqrt[5]{-25}

\sqrt[6]{71}

\sqrt[3]{7^{2}}

\sqrt[5]{2^{6}}

\sqrt{{(0,25)}^{- 3}}

49^{\frac{1}{2}}

$64^{\frac{1}{3}}$ =

$32^{\frac{1}{5}}$ =

$8^{\frac{2}{3}}$ =

$27^{\frac{2}{3}}$ =

125^{\frac{2}{3}}

8^{- \frac{2}{3}}

64^{- \frac{3}{4}}

{0,0196}^{- \frac{1}{2}}

27^{- \frac{5}{6}}

{0,343}^{- \frac{1}{3}}

{(\frac{25}{64})}^{- \frac{1}{2}}

64^{\frac{2}{3}} - 27^{\frac{4}{3}}

{0,343}^{\frac{2}{3}} + {0,729}^{\frac{2}{3}}

{(\frac{16}{9})}^{1 \frac{1}{2}} + {(\frac{9}{64})}^{- \frac{3}{2}}

{(\frac{625}{256})}^{0,75} + {(\frac{512}{216})}^{- \frac{2}{3}}

Seotud sisu

Opiqus edenemine

	Tööd
	Peatükk on läbi töötatud

Степень с дробным показателем

Курс „Числовые множества. Выражения. Уравнения и неравенства”

Seotud sisu

Lisa materjali

Lisatavad failid

Teata veast

Teata siia ainult Opiqu veast. Palun kirjelda viga nii täpselt kui võimalik.

Kui ootad Opiqu meeskonnalt vastust, lisa oma kontaktandmed (e-post, telefon).

Tee linnuke, et aidata meil spämmiga võidelda

Opiq kasutab küpsiseid