Повторение. Рациональные выражения

Напомним факты, известные из курса основной школы.

Рациональным выражением называется выражение, в записи которого используются только сложение, вычитание, умножение, деление и возведение в целую степень чисел и/или переменных.
Если рациональное выражение не содержит операции деления на выражения с переменными, то оно называется целым рациональным выражением, в противном случае говорят о дробном выражении.
Выражение вида $\frac{a}{b}$ , где a и b – целые выражения, называется алгебраической дробью (или просто дробью).
Упростить рациональное выражение – это значит преобразовать его в более простую алгебраическую дробь или целое выражение.
Преобразование рациональных выражений сводится к действиям с алгебраическими дробями. Эти действия определены следующими формулами:

При сложении (вычитании) алгебраических дробей с разными знаменателями их нужно сначала привести к общему знаменателю. Для этого знаменатели всех дробей раскладываются на множители. В качестве общего знаменателя берется произведение, множителями которого являются наибольшие степени всех различных множителей, имеющихся в знаменателях данных дробей. Для нахождения дополнительного множителя нужно общий знаменатель дробей разделить на знаменатель данной дроби.

xy² – 3x²y =

5x – 20a²x =

9a² + 18a + 9 =

–8u²v² – 12uv =

50y³ – 2x²y =

–x² – 8x – 16 =

2x² – 7x – 4 =

x² + 4y² =

4y² – 16y + 15 =

2m² – 250n² =

3x² – 10x – 8 =

18a² – 50b² =

a x^{2} + b x + c = a (x - x_{1}) (x - x_{2}),

где $x_{1; 2} = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$

$\frac{4 a - 2}{4 a^{2} - 1} + \frac{4 a}{2 a + 1}$ =

\frac{x}{x - y} + \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{2} - x^{2}}

\frac{x + y}{x} - \frac{x}{x - y} + \frac{y^{2}}{x^{2} - x y}

\frac{4 (x + 2 y)}{x^{2} - y^{2}} + \frac{3}{x - y} + \frac{2}{x + y}

\frac{3}{2 x - 1} + \frac{7}{2 x + 1} - \frac{4 - 20 x}{1 - 4 x^{2}}

\frac{1}{6 x - 4 y} - \frac{1}{6 x + 4 y} - \frac{6 x}{4 y^{2} - 9 x^{2}}

\frac{1}{a^{2} + a - 2} - \frac{1}{3 (a^{2} + 3 a + 2)} - \frac{1}{3 - 3 a^{2}}

\frac{9 a^{2} b - b}{b^{2} + 3 a b^{2}}

\frac{4 m - 1}{3 - 48 m^{2}}

\frac{4 x^{2} + 12 x + 9}{2 (2 x + 3)}

\frac{2 a^{2} - 3 a + 1}{3 a - 3}

\frac{a (a - 2) - 3}{(a - 2) (a - 3)}

\frac{(y + 2) (y + 3)}{y (y + 3) + 2}

\frac{a - b}{4 b^{3}} \cdot \frac{8 b^{4}}{a^{2} - a b}

\frac{n^{2} + 2 n + 1}{18 n^{3}} \cdot \frac{9 n^{4}}{n^{2} - 1}

\frac{a^{2} - 3 a x}{12 x} : \frac{a x - 3 x^{2}}{36 a}

\frac{a^{3} - 2 a^{2} b}{72 b^{n - 2}} : \frac{2 b^{3} - a b^{2}}{48 b^{n}}