Kursus „Tõenäosusteooria ja matemaatilise statistika elemente”
Näide 1.
Mitu kolmetähelist „sõna” saab moodustada tähtedest A, I, S, kui „sõnas” korduvaid tähti ei esine? Kirjutame need „sõnad” välja.
Korrutamislause põhjal on neid „sõnu” 3 · 2 · 1 = 6. Need on: AIS, ASI, IAS, ISA, SAI ja SIA. Leidke, millisel neljal „sõnal” neist on tähendus.
Kombinatoorika seisukohalt oleme näites 1 saanud kuus ühendit, mida nimetatakse permutatsioonideks kolmest elemendist. Üldiselt:
permutatsioonideks n erinevast elemendist nimetatakse nende elementide kõikvõimalikke erinevaid järjestusi.
Permutatsioonide arvu n erinevast elemendist tähistatakse sümboliga Pn ja see on korrutamislause põhjal n · (n – 1) · (n – 2) · … · 3 · 2 · 1.
Kõigi naturaalarvude korrutist arvust 1 kuni arvuni n nimetatakse aga arvu n faktoriaaliks ja tähistatakse sümboliga n!.
n! = 1 · 2 · 3 · … · (n – 2) · (n – 1) · n.
Näiteks 4! = 1 · 2 · 3 · 4 = 24.
Permutatsioonide arv n erinevast elemendist leitakse seega valemiga
Pn = n · (n – 1) · (n – 2) · … · 3 · 2 · 1 ehk Pn = n!
Kui soovime, et valem Pn = n! annaks ka permutatsioonide arvu ühest elemendist, mis on loomulikult 1, siis peame defineerima, et
1! = 1.
Nüüd P1 = 1! = 1.
Taskuarvutitel saab reeglina leida arvu faktoriaali. Selleks on klahv !, x! või n!.
Näide 2.
Leiame taskuarvutil
Tavaliselt ei ole taskuarvutid suutelised meeles pidama väga suuri arve. Juba korrutise 50! ⋅ 40! arvutamisel annab arvuti veateate. Seda on võimalik vältida, kui teha tehteid selles järjekorras, et vahetulemusi saab talletada. Nii sobib näiteks arvutusskeem
50 !: 60 !· 40 !: 28 !· 5 !: 8 !=
ja tulemuseks on ≈ 0,029112.
Näide 3.
Leiame tõenäosuse, et saame tähti A, A, L ja S juhuslikult järjestades tähendusega sõna.
Näite 1 eeskujul vastust leida ei saa, sest korduvate tähtede omavahelisel vahetamisel ei muutu „sõna” pildis midagi. On aga võimalus kirjutada kõik need „sõnad” välja diagrammi „puu” abil (joon. 1.1) ning siis loendada nii kõik „sõnad” kui ka tähendusega sõnad.
Niimoodi saame, et n = 12 ja k = 4.
Järelikult on otsitav tõenäosus p = 4 : 12 ≈ 0,33.
 Joon. 1.1 | ||||||
Ülesanded
Vastus. Tähendus või eesnimi on neist .
Vastus. Ühe oktaavi noote saab läbi mängida erinevas järjestuses.
Vastus. Tähendus on neist .
Vastus. Kümme osalejat saavad bussi siseneda erinevas järjekorras. Kõikvõimalike variantide „läbi mängimiseks” kuluks päeva.
Vastus. Nii saaks tekkida erinevat varianti.
Vastus. Neli külalist saavad istuda kuuele toolile erineval viisil.
- koodis ei tohi olla korduvaid numbreid?
Vastus. Siis saab moodustada erinevat koodi. - koodis võib olla korduvaid numbreid?
Vastus. Siis saab moodustada erinevat koodi.
