Hajuvuse karakteristikud

Kursus „Tõenäosusteooria ja matemaatilise statistika elemente”

Kahe statistilise kogumi sagedustabelid on järgmised:

Mõlema kogumi korral on sama N = 28, \overline{x}=10 ja Me = 10. Ometi on I ja II kogumil erinevus: esimesel juhul on tunnuse väärtused koondunud aritmeetilise keskmise ümber tihedamalt, teisel juhul aga hõredamalt. Selle kohta öeldakse, et esimesel juhul on tunnuse väärtuste hajuvus väiksem, teisel juhul suurem. Seni vaadeldud näitajad seda aga kuidagi ei kajasta.Mõnel juhul iseloomustab hajuvust mingil määral tunnuse muutumispiirkond või selle pikkus – variatsioonrea ulatus, s.t piirkond minimaalsest väärtusest maksimaalse väärtuseni. Antud juhul on aga ka tunnuse muutumispiirkond mõlemas kogumis sama: 7 ≤ x ≤ 13.Seame eesmärgiks leida karakteristiku, mis iseloomustab tunnuse hajuvust aritmeetilise keskmise suhtes.Tunnuse üksiku väärtuse x_i kõrvalekallet (erinevust) keskmisest \overline{x} näitab hästi vahe x_i-\overline{x}, mida nimetatakse väärtuse x_i hälbeks aritmeetilisest keskmisest. Suurus \left|x_i-\overline{x}\right| näitab seejuures kui suur on x_i erinevus aritmeetilisest keskmisest, ja vahe x_i-\overline{x} märk („+” või „–“) näitab, kas x_i>\overline{x} või x_i>\overline{x}.

Kogu variatsioonrea (andmestiku) kui terviku hajuvust \overline{x} suhtes iseloomustab aga kõigi hälvete sagedustabel.

Et saadud tabeli põhjal on vahetult raske midagi otsustada tunnuse hajuvuse üle, oleks tarvis vastavat koondnäitajat, karakteristikut. Võib tunduda, et selleks sobib keskmine hälve (hälvete aritmeetiline keskmine). Kuid see on alati null, sest juba

aritmeetilise keskmise suhtes arvutatud hälvete summa on null, s.t $(x_{1} - \bar{x}) f_{1} + (x_{2} - \bar{x}) f_{2} + \dots + (x_{n} - \bar{x}) f_{n} = 0$ .

Tõepoolest:

\left(x_1-\overline{x}\right)f_1+\left(x_2-\overline{x}\right)f_2+...+\left(x_n-\overline{x}\right)f_n = x_1f_1+x_2f_2+...+x_nf_n-\overline{x}\left(f_1+f_2+...+f_n\right) = x_1f_1+x_2f_2+...+x_nf_n-\frac{x_1f_1+x_2f_2+...+x_nf_n}{N}\cdot N = 0.Et vältida hälvete vastastikust koondumist nulliks, kasutatakse hajuvust iseloomustava suurusena hälvete ruutude (saame positiivsed arvud) aritmeetilist keskmist, mida nimetatakse dispersiooniks ja tähistatakse sümboliga σ² (ka s²), arvutipõhistes arvutussüsteemides VARP.Seega on dispersioon

$σ^{2} = \frac{{(x_{1} - \bar{x})}^{2} f_{1} + {(x_{2} - \bar{x})}^{2} f_{2} + \dots + {(x_{n} - \bar{x})}^{2} f_{n}}{N}$ .

Mida suurem on σ², seda suurem on tunnuse väärtuste hajuvus.

Saadud karakteristikul on aga üks oluline puudus – tema ühikuks on tunnuse ruutühik. Kui näiteks arvutame klassi õpilaste pikkuse (mõõtühikuks cm) hajuvust keskmise pikkuse (ka cm) suhtes, siis on hajuvuse mõõtühikuks cm². Et sellest ebakõlast vabaneda, kasutatakse hajuvuse karakteristikuna standardhälvet σ (ka sümbol s):

$σ = \sqrt{σ^{2}} = \sqrt{\frac{{(x_{1} - \bar{x})}^{2} f_{1} + {(x_{2} - \bar{x})}^{2} f_{2} + \dots + {(x_{n} - \bar{x})}^{2} f_{n}}{N}}$ .

Arvutipõhistes süsteemides esineb sümbol STDEVP.

Enamiku tunnuste korral erineb üle poole andmetest aritmeetilisest keskmisest vähem kui standardhälbe σ võrra. Teisiti öeldes paikneb tavaliselt enamik tunnuse väärtustest piirkonnas $[\bar{x} - σ; \bar{x} + σ]$ . Seetõttu antakse aritmeetiline keskmine sageli kujul $\bar{x} \pm σ$ .

Näide 1.

Leiame käesoleva peatüki alguses esitatud statistiliste andmete korral standardhälbed. Arvutused vormistame arvutuste lihtsustamise ja arusaadavuse huvides tabelina. Mõlemal juhul oli \overline{x}=10.

I kogumi korral on

σ = \sqrt{\frac{52}{28}} \approx 1,36

; II kogumi korral on

σ = \sqrt{\frac{150}{28}} \approx 2,31

Tulemus kinnitab veel kord, et teise kogumi tunnuse väärtused hajuvad rohkem kui esimese kogumi tunnuse väärtused. Seejuures asub esimese kogumi korral piirkonnas $[\bar{x} - σ; \bar{x} + σ]$ ehk [8,6; 11,4] 20 objekti (s.o. 71%), teise kogumi korral piirkonnas [7,6; 12,4] 16 objekti (s.o. 57%).

Aritmeetiline keskmine koos standardhälbega esitatakse sageli järgmiselt: I juhul \overline{x}=10\pm1,36 ja II juhul \overline{x}=10\pm2,31.

Osutub, et tunnuse väärtuste hajuvus aritmeetilise keskmise suhtes on alati väiksem kui mis tahes teise arvu suhtes, ehk teisiti,

tunnuse väärtused paiknevad kõige tihedamini aritmeetilise keskmise ümber.

Dispersiooni σ² arvutamiseks saab defineerivast võrdusest tuletada praktilisema valemi

$σ^{2} = \bar{x^{2}} - {\bar{x}}^{2}$ ,

kus \overline{x}^2 on on aritmeetilise keskmise ruut, \overline{x^2} aga tunnuse väärtuste ruutude aritmeetiline keskmine, s.t\overline{x^2}=\frac{1}{N}\left(x_1^2f_1+x_2^2f_2+...+x_n^2f_n\right).

Näide 2.

Laskur lasi märklauda, millele oli märgitud silmade arvud 1, 2, 3, 4 ja 5. Kui lask läks mööda, sai ta 0 silma. Laskja kahekümne lasu tulemused on järgnevas tabelis.Arvutame, mitu silma sai laskur keskmiselt ühe lasuga ja kui suur on hajuvust iseloomustav standardhälve. Mitu protsenti laskudest asub vahemikus

[\bar{x} - σ; \bar{x} + σ]

Tabelis tehtud arvutuste põhjal saame, et ühe lasuga tuli keskmiselt \overline{x}=\frac{66}{20}=3,3 silma ja tunnuse väärtuste ruutude aritmeetiline keskmine \overline{x^2}=\frac{254}{20}=12,7 ning dispersioon $σ^{2} = 12,7 - {3,3}^{2} = 1,81$ . Seega standardhälve $σ = \sqrt{1,81} \approx 1,35$ ja \overline{x}=3,3\pm1,35. Saadud silmade arvu lõigul [3,3 – 1,35; 3,3 + 1,35] ehk 1,95 ≤ x ≤ 4,65 asub 3 + 5 + 6 = 14 lasku. Seega on nn ühe sigma piirides \frac{14}{20}\cdot100\%=70\% laskudest.

Kahe kogumi võrdlemine hajuvuse seisukohalt taandub standardhälvete võrdlemisele. Nii tehakse näiteks ülesande 125 lahendamisel ja see on õigustatud, sest vastavad andmed asuvad sama skaala piirkonnas. Kui aga andmed on erinevatel skaaladel, näiteks tahetakse võrrelda algkooli poiste ja täiskasvanud meeste pikkuse hajuvust vastavate keskmiste suhtes, ei ole selliselt õige toimida. Põhjuseks on liiga erinev pikkuste tase, mis avaldub ka aritmeetiliste keskmiste endi erinevuses. Niisugusel juhul on sobivam leida nn suhteline hajuvus, võrreldes keskmisega. See on

$v = \frac{σ}{\bar{x}}$ ,

mida nimetatakse variatsioonikordajaks, ja nagu ikka suhtarvu, võib selle esitada ka protsentides. Variatsioonikordajal on mõte vaid siis, kui tunnuse väärtused on positiivsed. Analoogiline situatsioon on erinevates ühikutes (näiteks sentimeetrites ja kilogrammides) mõõdetud tunnuste hajuvuse võrdlemisel. Nii näiteks tuleb kasutada variatsioonikordajat, kui uuritakse, kas 11. klassi noormeeste kehakaalu või pikkuse hajuvus on suurem.

Seotud sisu

Ülesanded

Leidke hinnete aritmeetiline keskmine ja standardhälve ning hinnake, kummas klassis tehti kontrolltöö paremini. Kui palju hindeid (ka protsentides) paikneb kummalgi juhul piirkonnas $[\bar{x} - σ; \bar{x} + σ]$ ?

Vastus. A klassis oli hinnete aritmeetiline keskmine ja standardhälve ning B klassis oli hinnete aritmeetiline keskmine ja standardhälve . Järelikult kontrolltöö tehti paremini klassis. Piirkonnas $[\bar{x} - σ; \bar{x} + σ]$ paikneb A klassis hinnet ehk % hinnetest ja B klassis hinnet ehk % hinnetest.

Leidke laskuri tulemuste hajuvus. Kui palju tulemustest paikneb piirkonnas $[\bar{x} - σ; \bar{x} + σ]$ ?

Vastus. σ = . Piirkonnas $[\bar{x} - σ; \bar{x} + σ]$ asub tulemust (ehk % laskudest).

Leidke oma klassi viimase matemaatika kontrolltöö hinnete hajuvus, leidke ka piirkond $[\bar{x} - σ; \bar{x} + σ]$ ja sellesse langevate hinnete protsent. Andke kontrolltöö tulemustele omapoolne hinnang.

Seotud sisu

Opiqus edenemine

	Tööd
	Peatükk on läbi töötatud

Hajuvuse karakteristikud

Kursus „Tõenäosus­teooria ja matemaatilise statistika elemente”

Seotud sisu

Ülesanded

Seotud sisu

Lisa materjali

Lisatavad failid

Teata veast

Teata siia ainult Opiqu veast. Palun kirjelda viga nii täpselt kui võimalik.

Kui ootad Opiqu meeskonnalt vastust, lisa oma kontaktandmed (e-post, telefon).

Tee linnuke, et aidata meil spämmiga võidelda

Opiq kasutab küpsiseid

Kursus „Tõenäosusteooria ja matemaatilise statistika elemente”