Funktsiooni esitus­viisid

Kursus „Funktsioonid”

Funktsiooni võib esitada mitmel erineval viisil. Järgnevas vaatleme funktsiooni põhilisi esitus­viise.

1. Valem

Sel juhul on antud võrdus, mille kohaselt on x igale väärtusele võimalik arvutada y väärtust. Valemist nähtub, milliseid tehteid ja millises järje­korras tuleb argumendi väärtusega teha, et saada vastav funktsiooni väärtus. Kui näiteks funktsioon on antud valemiga y = x2 + 1, siis on iga reaal­arvulise x jaoks selle valemi abil võimalik y arvutada.

Funktsioon võib olla esitatud ka mitme valemiga. Kahe valemiga esitatud funktsioon on näiteks y=x, kui x≥0-x, kui x<0 (ehk y = |x|).

2. Graafik

Graafik võimaldab funktsiooni kujutada piltlikult. Graafikul on funktsiooni mitmed omadused selgemini nähtavad kui valemis. Tavaliselt on funktsiooni graafikuks mingi joon, kuid mitte iga joon pole funktsiooni graafikuks. Funktsiooni graafikuks saab olla vaid selline joon, mille korral x igale väärtusele vastab vaid üks punkt sellel joonel.

Tavaliselt on koordinaat­teljestikus võimalik kujutada vaid osa funktsiooni graafikust. Funktsiooni graafik võib koosneda kas üksikutest punktidest, pidevast joonest või mitmest pidevast joonest. Näiteks peatüki 2.4 näites 1 esitatud funktsiooni graafik koosneb 5 punktist (joonis 2.10). Funktsiooni y=\frac{a}{x} graafikuks olev hüperbool koosneb kahest eraldi­seisvast harust. Praktikas leiavad laialdast kasutamist näiteks liikumise graafikud, kardiogrammid jne.

Joon. 2.10

3. Tabel

Tabelis esitatakse ühes reas (või veerus) argumendi x väärtused, teises reas (veerus) sellele vastavad funktsiooni väärtused y. Näiteks oli funktsioon esitatud tabelina ülesandes 231. Enne tasku­arvutite võidu­käiku kasutati arvutustes näiteks arvu ruudu (funktsiooni y = x2, x ∈ N), arvu kuubi ja ruut­juure tabeleid. Funktsiooni esitust tabelina kasutatakse tihti abi­vahendina funktsiooni graafiku joonestamisel, kui funktsioon on antud valemiga.

4. Arvu­paarid

Funktsiooni sellise esituse jaoks moodustame kõik võimalikud järjestatud arvu­paarid, milles esimesel kohal on argumendi väärtus ja teisel kohal sellele vastav funktsiooni väärtus.

Näiteks olgu antud funktsioon y = |x|, kus X = {–2, –1, 0, 1, 2}. Selle funktsiooni võime esitada arvu­paaride hulgana järgmiselt: {(–2; 2), (–1; 1), (0; 0), (1; 1), (2; 2)}.

Näide 1.

Kodu­masinate müüja põhi­palk on 1000 eurot kuus. Kui kuu läbi­müük ületab 30 000 eurot, makstakse müüjale tasu 40% põhi­palgast ja 2% läbi­müügist. Leiame valemi müüja kuu­palga y arvutamiseks sõltuvalt läbi­müügist x.

Kuu­palk on muutumatu, kui läbi­müük ei ületa 30 000 eurot kuus. Kui x ∈ [0; 30 000], siis y = 1000.

Kui x > 30 000, siis y = 0,4 · 1000 + 0,02x = 400 + 0,02x.

Lühemalt võib selle esitada järgmiselt:

y=1000, kui x∈0; 30 000400+0,02x, kui x>30 000.

Selle funktsiooni graafik on kujutatud joonisel 2.11.

Joon. 2.11

Näide 2.

Auto­firma uuris auto pidurdus­tee pikkust sõltuvalt auto kiirusest ja sai järgmised tulemused:

Seos nende kahe suuruse vahel on funktsioon. Püüame esitatud andmete põhjal leida üldist valemit, mis võimaldaks leida auto pidurdus­tee pikkust s (meetrites) sõltuvalt auto kiirusest v (kilo­meetrit tunnis). Kanname selleks kõige­pealt vastavad punktid koordinaat­teljestikku (joonis 2.12).

Joon. 2.12

Näeme, et need punktid ei asu ühel sirgel. Meile tuntud funktsioonidest on saadud graafik kõige enam sarnane paraboolile (ruut­funktsiooni graafikule). Et auto kiiruse 0 km/h puhul on ilmselt ka pidurdus­tee pikkus 0 m, siis läbib antud parabool koordinaatide algus­punkti. Sellise parabooli võrrand on y = ax2. Parameetri a väärtuse määrame meie tabeli andmete põhjal näiteks nii:

10,0=a\cdot50^2, kust a=\frac{10,0}{2500}=0,004 ja valem pidurdus­tee pikkuse leidmiseks on s=0,004v^2.

Selle valemi põhjal saame leida pidurdus­tee pikkuse auto iga­suguse kiiruse puhul, samuti aga ka vastavalt pidurdus­tee pikkusele leida auto kiiruse. Näiteks, kui auto kiirus on 100 km/h, on pidurdus­tee 0,004 · 10 000 = 40 meetrit.

Seotud sisu
Muud tegevused

Ülesanded

  1. Leidke valem maastiku­auto pidurdus­tee pikkuse s (meetrites) leidmiseks sõltuvalt auto kiirusest v (km/h).

    Vastus. s = 
  2. Kui pikk on auto pidurdus­tee, kui auto sõidab kiirusega 80 km/h; 100 km/h?

    Vastus. Kiirusel 80 km/h on pidurdus­tee pikkus  m ja kiirusel 100 km/h  m.
  3. Kui kiiresti sõitis auto, kui pidurdus­tee pikkus oli 62,2 m; 24,5 m?

    Vastus. Kui pidurdus­tee pikkus oli 62,2 m, siis kiirus oli  km/h ja kui 24,5 m, siis  km/h.
Joon. 2.13
  1. Kui palju aega kulus kogu matkaks ja kui palju sellest puhkusteks?
    Vastus. Kogu matkaks kulus  h ja sellest puhkusteks  h.
  2. Mitu kilo­meetrit läbis ta esimese tunni jooksul?
    Vastus. Esimese tunni jooksul läbis ta  km.
  3. Kui palju aega kulus esimese 10 km ja kui palju viimase 10 km läbimiseks?
    Vastus. Esimese 10 km läbimiseks kulus  h ja viimase 10 km läbimiseks  h.
  4. Leidke vastava funktsiooni määramis­piirkond X ja muutumis­piirkond Y.
    Vastus. X = ; Y = .

S = 

  • Joonestage (arvutil) selle funktsiooni graafik, leidke määramis- ja muutumis­piirkond.
    Vastus. X = ; Y = .
  • Leidke graafikult, mis­suguse pikkuse x korral on aia pindala suurim.
    Vastus. Kui x = .
  • Milline saaks reaalselt olla aia lühema külje pikkus?
    Vastus. Aia lühema külje pikkus saaks olla m kuni  m.

Ülesanne 237. Funktsiooni graafik

Joonestage funktsiooni y=x2, kui x<12-x, kui x≥1 graafik.

Seotud sisu
Muud tegevused