Eksponent­võrrand

Kursus „Funktsioonid”

Eksponent­võrrandiks nimetatakse võrrandit, milles tundmatu esineb ainult astendajas.

Näide 1.

Eksponent­võrrandid on:

0,4^{x+7}=2^6\cdot5^{-6};

2^{2x}-5\cdot2^x+6=0;

2\cdot0,6^x=3^x\cdot5^{-x}+0,6.

Eksponent­võrrand ei ole aga võrrand 7\cdot3^{2x}+4x=8.

Üldist võtet eksponent­võrrandite lahendamiseks ei ole. Kasutatakse mitmeid eri­võtteid, mille valik sõltub võrrandi kujust. Mõningate eksponent­võrrandite lahendamisel saame kasutada asja­olu, et võrdsete alustega astmed (kui a ≠ 1) on võrdsed vaid siis, kui astendajad on võrdsed, s.t a^{x_1}=a^{x_2} ainult siis, kui x1 = x2. Sellele tuginedes lahendasime juba varem võrrandid ülesandes 274.

Näide 2.

Lahendame võrrandid 1) 8^{x+1}=16^{-3} ja 2) 5^{2x^2-3x-2}=1.

  1. 8^{x+1}=16^{-3} ⇒ \left(2^3\right)^{x+1}=\left(2^4\right)^{-3} ⇒ 2^{3x+3}=2^{-12} ⇒ 3x+3=-12 ⇒ x=-5.
  2. Et 1 = 50, siis 5^{2x^2-3x-2}=5^0, millest 2x^2-3x-2=0. Siit x1 = –0,5 ja x2 = 2.

Mõni­kord osutub lahendatav võrrand eksponent­avaldise af(x) suhtes tuntud võrrandiks, näiteks lineaar- või ruut­võrrandiks. Sel juhul lahendame esi­algse võrrandi af(x) suhtes, millega taandame selle võrrandi ühele või mitmele võrrandile kujul af(x) = b.

Näide 3.

Lahendame võrrandid 1) 32x–1 – 3x–1 – 2 = 0 ja 2) 58x+9 – 54x+6 = 0.

  1. Teisendame võrrandit: 3^{2x-1}-3^{x-1}-2=0 ⇒ 3^{2x}\cdot3^{-1}-3^x\cdot3^{-1}-2=0 ⇒ 3^{2x}-3^x-6=0 ⇒ \left(3^x\right)^2-\left(3^x\right)-6=0.
    Saime ruut­võrrandi 3^x suhtes.
    ​Siit​ 3^x=0,5\pm\sqrt{0,25+6} = 0,5\pm2,5 ehk 3^x=3 ja 3^x=-2.
    ​Kui 3^x=3, siis x=1. Võrrand 3^x=-2 on aga vastu­oluline, sest eksponent­funktsiooni 3^x väärtus ei saa kunagi olla negatiivne.
    ​Vastus: x = 1.
  2. Võrrandit 58x+9 – 54x+6 = 0 võib lahendada analoogiliselt eelneva võrrandiga või näite 2 ees­kujul, kuid seda saab lahendada ka järgmiselt. Kirjutame võrrandi kujul 54x+6 · 54x+3 – 54x+6 = 0. Võtame sulgude ette ühise teguri: 54x+6 ⋅ (54x+3 – 1) = 0. Tegur 54x+6 ei saa olla null, sest tundmatu x iga väärtuse korral on see positiivne. Järelikult on sulg­avaldis 54x+3 – 1 = 0 ehk 54x+3 = 1. Et 1 = 50, siis 54x+3 = 50, millest 4x + 3 = 0 ja x = –0,75. See ongi esi­algse võrrandi lahend.
Seotud sisu
Muud tegevused

Ülesanded

5^{2x}=625
x = 

4^x=64
x = 

0,1^{10-x}=10^{3x-4}
x = 

\left(\frac{1}{25}\right)^{x-1}=5
x = 

\left(\frac{1}{3}\right)^{4-x}=3^x
x = 

\sqrt{e^x}=e^{-0,8}
x = 

e^{0,3x}=e^{-3,6}
x = 

4^{\sqrt{2x}}=0,25
x = 

8^{2x}=1
x = 

3^{x-2}=3^{-2}
x = 

3^{x+1}=\sqrt{9^{x+1}}
x = 

0,9^{x^2-4}=1
x =  või x = 

2^{2-x}=3^{2-x}
x = 

3^{4-x}=5^{x-4}
x = 

\sqrt[4]{2^{x+1}}=\sqrt[3]{2^{x-2}}
x = 

2^{2x}-8\cdot2^x+16=0
x = 

3^{2x}-10\cdot3^x+9=0
x =  või x = 

5^{2x}+5^x-20=0
x = 

4\cdot4^{2x}-9\cdot4^x+2=0
x =  või x = 

4^x-10\cdot2^x+24=0
x =  või x = 

2^{2x}-3\cdot2^{x+1}+8=0
x =  või x = 

3^{x+1}+3^x=108
x = 

7^{2x}+2\cdot7^x=-4
x = 

5^x+3\cdot5^{x-2}=140
x = 

4^{2x+1}-4^{x+2}=0
x = 

9^x-3^x=2
x = 

2^x-2^{x-2}-3=0
x = 

2^{3^x}=512
x = 

3^x+3^{x+1}+3^{x+2}=13
x = 

e^{4x}=e^{8-6x}
x = 

\sqrt{3^x}\cdot\sqrt{5^x}=225
x = 

125\cdot2^x=8\cdot5^x
x = 

10^x\left(101-10^x\right)=100
x =  või x = 

Seotud sisu
Muud tegevused