Pöörd­funktsioon

Kui hulgal X on määratud funktsioon, siis vastab hulga X igale elemendile üks kindel element teisest hulgast Y.

Näide 1.

Olgu hulk X teie kooli õpilaste hulk ja hulk Y nende õpilaste vanuste (aastates) hulk. Hulgal X on määratud funktsioon, sest igale õpilasele vastab üks kindel vanus. Kui on antud hulga Y element (vanus aastates), siis ei saa me üheselt määrata, missuguse õpilasega on tegemist, sest ühe­vanuseid õpilasi on koolis mitu. Pöörd­vastavus pole ühene.

Näide 2.

Teame, et igale arvule vastab tema ruut. Kui hulgaks X on naturaal­arvude hulk, siis on vastavus hulkade X ja Y (arvu ruutude hulk) vahel üks­ühene, s.t igale arvule hulgast X vastab üks arv hulgast Y ja vastu­pidi, igale arvule hulgast Y vastab üks arv hulgast X (joonis 2.59a). Seega ka hulgal Y on määratud funktsioon. Kui aga hulgaks X on täis­arvude hulk, siis hulgal X on määratud funktsioon, kuid hulgal Y ei ole, sest ühele arvule hulgast Y vastab hulgas X mõni­kord kaks erinevat arvu (joonis 2.59b).

Joon. 2.59

Näidete 1 ja 2 põhjal võime öelda, et kui hulgal X on määratud mingi funktsioon, siis on kaks võimalust:

  1. hulga Y mõned elemendid vastavad hulga X mitmele elemendile. Siis ei saa sellise y ∈ Y põhjal üheselt leida, missugune element x ∈ X temale vastab (näide 1);
  2. hulga Y iga element vastab ainult ühele hulga X elemendile ehk hulga X erinevatele elementidele vastavad hulga Y erinevad elemendid. Sel juhul on ka hulgal Y määratud funktsioon (näide 2, joonis 2.59a).

Olgu hulgal X määratud funktsioon y = f (x). Kui selle funktsiooni muutumis­piirkonna Y igale elemendile y vastab üks ja ainult üks element x hulgast X nii, et y = f (x), siis on hulgal Y määratud funktsioon, mida nimetatakse esi­algse funktsiooni pöörd­funktsiooniks.

Joon. 2.60

Funktsiooni y = f (x) pöörd­funktsiooni tähistatakse x = f –1(y) (joonis 2.60). Me oleme harjunud aga funktsiooni argumenti tähistama tähega x ja funktsiooni väärtust tähega y, seega funktsiooni f pöörd­funktsioon oleks y = f –1(x). Pöörd­funktsiooni määramis­piirkonnaks on esi­algse funktsiooni muutumis­piirkond ja muutumis­piirkonnaks esi­algse funktsiooni määramis­piirkond.

Näide 3.

Funktsioonil y = 2x + 1 on pöörd­funktsioon, sest igale y väärtusele vastab üks kindel x väärtus (joonis 2.61a). Funktsioonil y = x2 + 1 puudub pöörd­funktsioon, sest y igale väärtusele (välja arvatud y = 1) vastab kaks erinevat x väärtust (joonis 2.61b). See­vastu funktsioonil y = x2 + 1, kus X = [0; ∞), on pöörd­funktsioon (joonis 2.61c).

Joon. 2.61

Näide 4.

Leiame funktsiooni y = 2x + 1 pöörd­funktsiooni. Selleks tuleb meil leida ees­kiri, mille järgi saab y igale väärtusele seada vastavusse x väärtuse. Selleks tuleb valemist y = 2x + 1 avaldada x:

2x=y-1 ja x=\frac{1}{2}y-\frac{1}{2}.

Valem x=\frac{1}{2}y-\frac{1}{2} võimaldabki y iga väärtuse jaoks arvutada x väärtuse ja esitab seega esi­algse funktsiooni pöörd­funktsiooni. Tähistades argumendi tähega x ja funktsiooni väärtuse tähega y, saame funktsiooni y = 2x + 1 pöörd­funktsiooni y=\frac{1}{2}x-\frac{1}{2} ehk teisiti: f (x) = 2x + 1 pöörd­funktsioon on f^{-1}\left(x\right)=\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}. Funktsioonide graafikud on joonisel 2.62.

Joon. 2.62

TEOREEM. Funktsiooni ja tema pöörd­funktsiooni graafikud on sümmeetrilised sirge y = x suhtes.

Tõestus.

Olgu antud funktsioon y = f (x) ja tema pöörd­funktsioon y = f–1(x). Väidame, et y = f (x) graafiku igale punktile P(a; b) vastab y = f –1(x) graafikul punkt Q, mis on punktiga P sümmeetriline sirge y = x suhtes (joonis 2.63). Võrdus y = f –1(x) on saadud võrdusest y = f (x) sel teel, et esmalt on avaldatud viimasest võrdusest x, s.t. x = f –1(y), ning siis vahetatud muutujad x ja y, s.t y = f –1(x).

Joon. 2.63

Valime funktsiooni y = f (x) graafikul punkti P(a; b). Selle punkti koordinaadid rahuldavad võrdust y = f (x) ja ka võrdust x = f –1(y). Muutujate vahetamisel saadud võrdust y = f –1(x) rahuldab seega arvu­paar (b; a). Järelikult, kui esi­algse funktsiooni graafikul võtta punkt P(a; b), siis pöörd­funktsiooni y = f –1(x) graafikul leidub punkt Q(b; a).

Veendume, et punktid P(a; b) ja Q(b; a) on sümmeetrilised sirge y = x suhtes. Sirge PQ võrrand on \frac{x-a}{b-a}=\frac{y-b}{a-b} ehk y=-x+a+b. Sirged PQ ja y = x on risti, sest nende tõusude korrutis on –1. Lõigu PQ kesk­punkti O koordinaadid on \left(\frac{a+b}{2};\ \frac{a+b}{2}\right), s.t selle punkti abstsiss ja ordinaat on võrdsed. Sellised punktid rahuldavad sirge y = x võrrandit. Seega olemegi näidanud, et punktid P ja Q on sümmeetrilised sirge y = x suhtes. ♦

Igal kasvaval ja igal kahaneval funktsioonil on olemas pöörd­funktsioon.

Tõe­poolest, kui funktsioon on kogu oma määramis­piirkonnas kasvav, siis vastavad x erinevatele väärtustele y erinevad väärtused ja, vastu­pidi, y erinevatele väärtustele x erinevad väärtused.

Seotud sisu
Muud tegevused

Ülesanded A

Ülesanne 492. Pöörd­funktsioon
Joon. 2.64

Üks­ühene vastavus:

  • a)
  • b)
  • c)
  • d)
  • e)
  • f)

Leidub pöörd­funktsioon:

  • a)
  • b)
  • c)
  • d)
  • e)
  • f)
Seotud sisu
Muud tegevused

Ülesanded B

Ülesanne 493. Pöörd­funktsioon

y=-0,5x-2

Pöörd­funktsioon:
y = 

y=\sqrt{x-1}

Pöörd­funktsioon:
y = 

y=2x^2,\ x\le0

Pöörd­funktsioon:
y = 

y=\frac{1}{3}x-5

Pöörd­funktsioon:
y = 

y=\frac{x-3}{2}

Pöörd­funktsioon:
y = 

y=x^3+1

Pöörd­funktsioon:
y = 

y=x^2+x

Pöörd­funktsioon:
y = 

y=-8x-5

Pöörd­funktsioon:
y = 

y=x^2-3,\ x\ge0

Pöörd­funktsioon:
y = 

Ülesanne 494. Pöörd­funktsiooni graafik

y=x^2, x\ge0

Antud funktsioon:

X = 

Y = 

Pöörd­funktsioon:

X = 

Y = 

y=-x+6

Antud funktsioon:

X = 

Y = 

Pöörd­funktsioon:

X = 

Y = 

y=-x^2+4, x\le0

Antud funktsioon:

X = 

Y = 

Pöörd­funktsioon:

X = 

Y = 

y=x^3

Antud funktsioon:

X = 

Y = 

Pöörd­funktsioon:

X = 

Y = 

Ülesanne 495. Pöörd­funktsiooni graafik

Ülesanne 496. Pöörd­funktsiooni graafik
  1. Joonestage funktsiooni y=\frac{2}{x-1} graafik. Leidke selle funktsiooni määramis­piirkond X ja muutumis­piirkond Y.
    Vastus. X = ; Y = .
  2. Leidke vaadeldava funktsiooni pöörd­funktsioon ja joonestage selle graafik.
    Vastus. Pöörd­funktsioon on .
  3. Leidke pöörd­funktsiooni määramis- ja muutumis­piirkond.
    Vastus. X = ; Y = .
Ülesanne 497. Pöörd­funktsioon

Antud funktsioon

Pöörd­funktsioon

y=-x+3

y = 

y=\frac{2}{x}

y = 

y=\frac{1-x}{1+x}

y = 

Tooge veel näiteid funktsioonidest, millel on eelnevate pöörd­funktsioonide puhul ilmnenud omadus.

Seotud sisu
Muud tegevused